A axomexam.in

LCM and HCF

50 most important LCM and HCF questions with full step-by-step solutions for Assam competitive exams. Useful for APSC, ADRE 2.0, Assam Police, SSC and Railway exams in Assam.

50 Questions with Answers

Q1. Find the LCM of 12 and 18.
12 আৰু 18 ৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Rule: Prime factorize each number.,Step 1: 12 = 2² × 3,Step 2: 18 = 2 × 3²,Step 3: Take highest powers: 2², 3²,Step 4: LCM = 4 × 9 = 36,Answer: (a) 36
নিয়ম: প্ৰতিটো সংখ্যা মৌলিক উৎপাদকত বিশ্লেষণ।,পদক্ষেপ ১: 12 = 2² × 3,পদক্ষেপ ২: 18 = 2 × 3²,পদক্ষেপ ৩: সৰ্বোচ্চ ঘাত লোৱা: 2², 3²,পদক্ষেপ ৪: ল.সা.গু. = 4 × 9 = 36,উত্তৰ: (ক) 36
Q2. Find the HCF of 24 and 36.
24 আৰু 36 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Rule: Prime factorize and take common factors.,Step 1: 24 = 2³ × 3,Step 2: 36 = 2² × 3²,Step 3: Common = 2² × 3,Step 4: HCF = 4 × 3 = 12,Answer: (b) 12
নিয়ম: মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ আৰু সাধাৰণ উৎপাদক লোৱা।,পদক্ষেপ ১: 24 = 2³ × 3,পদক্ষেপ ২: 36 = 2² × 3²,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ = 2² × 3,পদক্ষেপ ৪: গ.সা.গু. = 4 × 3 = 12,উত্তৰ: (খ) 12
Q3. Find the LCM of 8, 12 and 16.
8, 12 আৰু 16 ৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 8 = 2³; 12 = 2² × 3; 16 = 2⁴,Step 2: Highest powers: 2⁴, 3¹,Step 3: LCM = 16 × 3 = 48,Answer: (c) 48
পদক্ষেপ ১: 8 = 2³; 12 = 2² × 3; 16 = 2⁴,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2⁴, 3¹,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 16 × 3 = 48,উত্তৰ: (গ) 48
Q4. Find the HCF of 48, 72 and 120.
48, 72 আৰু 120 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 48 = 2⁴ × 3,Step 2: 72 = 2³ × 3²,Step 3: 120 = 2³ × 3 × 5,Step 4: Common = 2³ × 3 = 24,Answer: (d) 24
পদক্ষেপ ১: 48 = 2⁴ × 3,পদক্ষেপ ২: 72 = 2³ × 3²,পদক্ষেপ ৩: 120 = 2³ × 3 × 5,পদক্ষেপ ৪: সাধাৰণ = 2³ × 3 = 24,উত্তৰ: (ঘ) 24
Q5. The product of two numbers is 2160 and their HCF is 12. Find their LCM.
দুটা সংখ্যাৰ গুণফল 2160 আৰু গ.সা.গু. 12। তেওঁলোকৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Formula: Product = HCF × LCM.,Step 1: 2160 = 12 × LCM,Step 2: LCM = 2160 ÷ 12 = 180,Answer: (a) 180
সূত্ৰ: গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: 2160 = 12 × ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ২: ল.সা.গু. = 2160 ÷ 12 = 180,উত্তৰ: (ক) 180
Q6. Find the smallest number which is exactly divisible by 6, 9 and 15.
6, 9 আৰু 15 ৰে অবিকল বিভাজ্য ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: Required number = LCM of 6, 9, 15.,Step 1: 6 = 2 × 3; 9 = 3²; 15 = 3 × 5,Step 2: Highest powers: 2, 3², 5,Step 3: LCM = 2 × 9 × 5 = 90,Answer: (b) 90
ধাৰণা: নিৰ্ণেয় সংখ্যা = 6, 9, 15 ৰ ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: 6 = 2 × 3; 9 = 3²; 15 = 3 × 5,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2, 3², 5,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 2 × 9 × 5 = 90,উত্তৰ: (খ) 90
Q7. Find the greatest number which divides 60, 90 and 120 exactly.
60, 90 আৰু 120 ক অবিকল ভাগ কৰিব পৰা বৃহত্তম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: The greatest such number is the HCF.,Step 1: 60 = 2² × 3 × 5,Step 2: 90 = 2 × 3² × 5,Step 3: 120 = 2³ × 3 × 5,Step 4: Common factors = 2 × 3 × 5 = 30,Answer: (c) 30
ধাৰণা: এনে বৃহত্তম সংখ্যা হ'ল গ.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: 60 = 2² × 3 × 5,পদক্ষেপ ২: 90 = 2 × 3² × 5,পদক্ষেপ ৩: 120 = 2³ × 3 × 5,পদক্ষেপ ৪: সাধাৰণ উৎপাদক = 2 × 3 × 5 = 30,উত্তৰ: (গ) 30
Q8. The LCM of two numbers is 120 and their HCF is 8. One number is 40. Find the other.
দুটা সংখ্যাৰ ল.সা.গু. 120 আৰু গ.সা.গু. 8। এটা সংখ্যা 40 হ'লে আনটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Formula: Product = HCF × LCM = a × b.,Step 1: a × b = 8 × 120 = 960,Step 2: 40 × b = 960 → b = 960 ÷ 40,Step 3: b = 24,Answer: (d) 24
সূত্ৰ: গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = a × b,পদক্ষেপ ১: a × b = 8 × 120 = 960,পদক্ষেপ ২: 40 × b = 960 → b = 960 ÷ 40,পদক্ষেপ ৩: b = 24,উত্তৰ: (ঘ) 24
Q9. Find the HCF of 0.36 and 0.48.
0.36 আৰু 0.48 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Method: Convert to fractions and find HCF of numerators ÷ LCM of denominators.,Step 1: 0.36 = 36/100; 0.48 = 48/100,Step 2: HCF of 36 and 48 = 12,Step 3: HCF = 12/100 = 0.12,Answer: (a) 0.12
পদ্ধতি: ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ, লৱৰ গ.সা.গু. ÷ হৰৰ ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: 0.36 = 36/100; 0.48 = 48/100,পদক্ষেপ ২: 36 আৰু 48 ৰ গ.সা.গু. = 12,পদক্ষেপ ৩: গ.সা.গু. = 12/100 = 0.12,উত্তৰ: (ক) 0.12
Q10. Find the smallest number which when divided by 4, 6 and 8 leaves remainder 2 in each case.
4, 6 আৰু 8 ৰে ভাগ কৰিলে প্ৰতিটোতে ভাগশেষ 2 ৰখা ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: Number = LCM(4, 6, 8) + 2.,Step 1: LCM of 4, 6, 8 = 24,Step 2: Number = 24 + 2 = 26,Answer: (b) 26
ধাৰণা: সংখ্যা = ল.সা.গু.(4, 6, 8) + 2,পদক্ষেপ ১: 4, 6, 8 ৰ ল.সা.গু. = 24,পদক্ষেপ ২: সংখ্যা = 24 + 2 = 26,উত্তৰ: (খ) 26
Q11. Three bells ring at intervals of 12, 18 and 30 seconds. After how many seconds will they ring together again?
তিনিটা ঘণ্টা 12, 18 আৰু 30 ছেকেণ্ডৰ ব্যৱধানত বাজে। কিমান ছেকেণ্ডৰ পিছত আকৌ একেলগে বাজিব?
Answer: Concept: Time after which they ring together = LCM.,Step 1: 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²; 30 = 2 × 3 × 5,Step 2: Highest powers: 2², 3², 5,Step 3: LCM = 4 × 9 × 5 = 180,Answer: (c) 180 seconds
ধাৰণা: একেলগে বাজোৱা সময় = ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²; 30 = 2 × 3 × 5,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2², 3², 5,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 4 × 9 × 5 = 180,উত্তৰ: (গ) 180 ছেকেণ্ড
Q12. Find the LCM of 14, 21 and 28.
14, 21 আৰু 28 ৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 14 = 2 × 7; 21 = 3 × 7; 28 = 2² × 7,Step 2: Highest powers: 2², 3, 7,Step 3: LCM = 4 × 3 × 7 = 84,Answer: (d) 84
পদক্ষেপ ১: 14 = 2 × 7; 21 = 3 × 7; 28 = 2² × 7,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2², 3, 7,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 4 × 3 × 7 = 84,উত্তৰ: (ঘ) 84
Q13. Find the HCF of 91, 104 and 130.
91, 104 আৰু 130 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 91 = 7 × 13,Step 2: 104 = 2³ × 13,Step 3: 130 = 2 × 5 × 13,Step 4: Common factor = 13,Answer: (a) 13
পদক্ষেপ ১: 91 = 7 × 13,পদক্ষেপ ২: 104 = 2³ × 13,পদক্ষেপ ৩: 130 = 2 × 5 × 13,পদক্ষেপ ৪: সাধাৰণ উৎপাদক = 13,উত্তৰ: (ক) 13
Q14. Find the least number which when increased by 5 is exactly divisible by 16, 24 and 32.
16, 24 আৰু 32 ৰে অবিকল বিভাজ্য হ'বলৈ 5 বৃদ্ধি কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: Number + 5 = LCM(16, 24, 32).,Step 1: LCM of 16, 24, 32: 16 = 2⁴; 24 = 2³×3; 32 = 2⁵,Step 2: LCM = 2⁵ × 3 = 96,Step 3: Number = 96 − 5 = 91,Answer: (b) 91
ধাৰণা: সংখ্যা + 5 = ল.সা.গু.(16, 24, 32),পদক্ষেপ ১: 16, 24, 32 ৰ ল.সা.গু.: 16 = 2⁴; 24 = 2³×3; 32 = 2⁵,পদক্ষেপ ২: ল.সা.গু. = 2⁵ × 3 = 96,পদক্ষেপ ৩: সংখ্যা = 96 − 5 = 91,উত্তৰ: (খ) 91
Q15. Two numbers are in the ratio 3:4 and their LCM is 84. Find the numbers.
দুটা সংখ্যা 3:4 অনুপাতত আছে আৰু তেওঁলোকৰ ল.সা.গু. 84। সংখ্যা দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Let the numbers be 3x and 4x.,Step 1: LCM of 3x and 4x = 12x,Step 2: 12x = 84 → x = 7,Step 3: Numbers = 3×7 = 21 and 4×7 = 28,Answer: (c) 21 and 28
সংখ্যা দুটা 3x আৰু 4x ধৰো।,পদক্ষেপ ১: 3x আৰু 4x ৰ ল.সা.গু. = 12x,পদক্ষেপ ২: 12x = 84 → x = 7,পদক্ষেপ ৩: সংখ্যা = 3×7 = 21 আৰু 4×7 = 28,উত্তৰ: (গ) 21 আৰু 28
Q16. Find the greatest 3-digit number which is exactly divisible by 6, 8 and 12.
6, 8 আৰু 12 ৰে অবিকল বিভাজ্য বৃহত্তম 3-অংকীয় সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: Largest 3-digit multiple of LCM(6, 8, 12).,Step 1: LCM of 6, 8, 12 = 24,Step 2: 999 ÷ 24 = 41 remainder 15,Step 3: Subtract remainder: 999 − 15 = 984,Answer: (d) 984
ধাৰণা: ল.সা.গু.(6, 8, 12) ৰ বৃহত্তম 3-অংকীয় গুণিতক।,পদক্ষেপ ১: 6, 8, 12 ৰ ল.সা.গু. = 24,পদক্ষেপ ২: 999 ÷ 24 = 41 ভাগশেষ 15,পদক্ষেপ ৩: ভাগশেষ বিয়োগ: 999 − 15 = 984,উত্তৰ: (ঘ) 984
Q17. The HCF and LCM of two numbers are 15 and 90. One number is 45. Find the other number.
দুটা সংখ্যাৰ গ.সা.গু. 15 আৰু ল.সা.গু. 90। এটা সংখ্যা 45 হ'লে আনটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Formula: a × b = HCF × LCM.,Step 1: a × b = 15 × 90 = 1350,Step 2: 45 × b = 1350 → b = 1350 ÷ 45,Step 3: b = 30,Answer: (a) 30
সূত্ৰ: a × b = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: a × b = 15 × 90 = 1350,পদক্ষেপ ২: 45 × b = 1350 → b = 1350 ÷ 45,পদক্ষেপ ৩: b = 30,উত্তৰ: (ক) 30
Q18. Find the HCF of 75 and 125.
75 আৰু 125 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 75 = 3 × 5²,Step 2: 125 = 5³,Step 3: Common = 5² = 25,Answer: (b) 25
পদক্ষেপ ১: 75 = 3 × 5²,পদক্ষেপ ২: 125 = 5³,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ = 5² = 25,উত্তৰ: (খ) 25
Q19. Find the least number of 4 digits which is exactly divisible by 15, 20 and 25.
15, 20 আৰু 25 ৰে অবিকল বিভাজ্য ক্ষুদ্ৰতম 4-অংকীয় সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: LCM of 15, 20, 25 = 300,Step 2: Smallest 4-digit number = 1000,Step 3: 1000 ÷ 300 = 3 remainder 100,Step 4: Next multiple: (3+1) × 300 = 1200,Answer: (c) 1200
পদক্ষেপ ১: 15, 20, 25 ৰ ল.সা.গু. = 300,পদক্ষেপ ২: ক্ষুদ্ৰতম 4-অংকীয় সংখ্যা = 1000,পদক্ষেপ ৩: 1000 ÷ 300 = 3 ভাগশেষ 100,পদক্ষেপ ৪: পৰৱৰ্তী গুণিতক: (3+1) × 300 = 1200,উত্তৰ: (গ) 1200
Q20. The product of two numbers is 1575 and their HCF is 15. Find their LCM.
দুটা সংখ্যাৰ গুণফল 1575 আৰু গ.সা.গু. 15। ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Formula: LCM = Product ÷ HCF.,Step 1: LCM = 1575 ÷ 15,Step 2: = 105,Answer: (d) 105
সূত্ৰ: ল.সা.গু. = গুণফল ÷ গ.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: ল.সা.গু. = 1575 ÷ 15,পদক্ষেপ ২: = 105,উত্তৰ: (ঘ) 105
Q21. Find the greatest number that divides 76, 116 and 196 leaving remainder 1 in each case.
76, 116 আৰু 196 ক প্ৰতিটোতে ভাগশেষ 1 ৰাখি ভাগ কৰিব পৰা বৃহত্তম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Method: Subtract the remainder from each number.,Step 1: 76−1 = 75; 116−1 = 115; 196−1 = 195,Step 2: 75 = 3 × 5²; 115 = 5 × 23; 195 = 3 × 5 × 13,Step 3: Common factor = 5,Answer: (a) 5
পদ্ধতি: প্ৰতিটো সংখ্যাৰ পৰা ভাগশেষ বিয়োগ।,পদক্ষেপ ১: 76−1 = 75; 116−1 = 115; 196−1 = 195,পদক্ষেপ ২: 75 = 3 × 5²; 115 = 5 × 23; 195 = 3 × 5 × 13,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ উৎপাদক = 5,উত্তৰ: (ক) 5
Q22. Find the LCM of 18, 24 and 30.
18, 24 আৰু 30 ৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 18 = 2 × 3²; 24 = 2³ × 3; 30 = 2 × 3 × 5,Step 2: Highest powers: 2³, 3², 5,Step 3: LCM = 8 × 9 × 5 = 360,Answer: (b) 360
পদক্ষেপ ১: 18 = 2 × 3²; 24 = 2³ × 3; 30 = 2 × 3 × 5,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2³, 3², 5,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 8 × 9 × 5 = 360,উত্তৰ: (খ) 360
Q23. Find the HCF of 44 and 110 by the division method.
ভাগ-পদ্ধতিৰে 44 আৰু 110 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Method: Divide the larger by the smaller repeatedly.,Step 1: 110 ÷ 44 = 2 remainder 22,Step 2: 44 ÷ 22 = 2 remainder 0,Step 3: Last non-zero remainder = 22,Answer: (c) 22
পদ্ধতি: ডাঙৰ সংখ্যাক সৰুৰে বাৰে বাৰে ভাগ।,পদক্ষেপ ১: 110 ÷ 44 = 2 ভাগশেষ 22,পদক্ষেপ ২: 44 ÷ 22 = 2 ভাগশেষ 0,পদক্ষেপ ৩: অন্তিম অ-শূন্য ভাগশেষ = 22,উত্তৰ: (গ) 22
Q24. The ratio of two numbers is 4:5 and their HCF is 6. Find their LCM.
দুটা সংখ্যা 4:5 অনুপাতত আছে আৰু গ.সা.গু. 6। ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Let the numbers be 4x and 5x; HCF = x = 6.,Step 1: Numbers = 4×6 = 24 and 5×6 = 30,Step 2: LCM of 24 and 30 = 120,Answer: (d) 120
সংখ্যা দুটা 4x আৰু 5x ধৰো; গ.সা.গু. = x = 6,পদক্ষেপ ১: সংখ্যা = 4×6 = 24 আৰু 5×6 = 30,পদক্ষেপ ২: 24 আৰু 30 ৰ ল.সা.গু. = 120,উত্তৰ: (ঘ) 120
Q25. Find the smallest number which is a perfect square and divisible by 8 and 12.
8 আৰু 12 ৰে বিভাজ্য পূৰ্ণ বৰ্গ ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: LCM of 8 and 12 = 24,Step 2: 24 = 2³ × 3,Step 3: For a perfect square, exponent of 3 must be even → multiply by 3,Step 4: 24 × 6 = 144 (also 24 × 3 = 72, but 72 is not a square),Answer: (a) 144
পদক্ষেপ ১: 8 আৰু 12 ৰ ল.সা.গু. = 24,পদক্ষেপ ২: 24 = 2³ × 3,পদক্ষেপ ৩: পূৰ্ণ বৰ্গৰ বাবে 3 ৰ ঘাত যুগ্ম হ'ব লাগে → 6 ৰে গুণ,পদক্ষেপ ৪: 24 × 6 = 144,উত্তৰ: (ক) 144
Q26. Find the HCF of 306 and 657 by Euclid's division algorithm.
ইউক্লিড ভাগ-পদ্ধতিৰে 306 আৰু 657 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Method: a = bq + r.,Step 1: 657 = 306 × 2 + 45,Step 2: 306 = 45 × 6 + 36,Step 3: 45 = 36 × 1 + 9,Step 4: 36 = 9 × 4 + 0,Step 5: Last non-zero remainder = 9,Answer: (b) 9
পদ্ধতি: a = bq + r,পদক্ষেপ ১: 657 = 306 × 2 + 45,পদক্ষেপ ২: 306 = 45 × 6 + 36,পদক্ষেপ ৩: 45 = 36 × 1 + 9,পদক্ষেপ ৪: 36 = 9 × 4 + 0,পদক্ষেপ ৫: অন্তিম অ-শূন্য ভাগশেষ = 9,উত্তৰ: (খ) 9
Q27. Find the greatest number of 3 digits which when divided by 5, 7 and 9 leaves remainder 3 in each case.
5, 7 আৰু 9 ৰে ভাগ কৰিলে প্ৰতিটোতে ভাগশেষ 3 ৰখা বৃহত্তম 3-অংকীয় সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: Number = (multiple of LCM) + 3.,Step 1: LCM of 5, 7, 9 = 315,Step 2: 999 ÷ 315 = 3 remainder 54,Step 3: Largest multiple of 315 below 999 = 3 × 315 = 945,Step 4: Number = 945 + 3 = 948,Answer: (c) 948
ধাৰণা: সংখ্যা = (ল.সা.গু. ৰ গুণিতক) + 3,পদক্ষেপ ১: 5, 7, 9 ৰ ল.সা.গু. = 315,পদক্ষেপ ২: 999 ÷ 315 = 3 ভাগশেষ 54,পদক্ষেপ ৩: 999 ৰ তলত 315 ৰ বৃহত্তম গুণিতক = 3 × 315 = 945,পদক্ষেপ ৪: সংখ্যা = 945 + 3 = 948,উত্তৰ: (গ) 948
Q28. Find the HCF of 39, 65 and 91.
39, 65 আৰু 91 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 39 = 3 × 13,Step 2: 65 = 5 × 13,Step 3: 91 = 7 × 13,Step 4: Common factor = 13,Answer: (d) 13
পদক্ষেপ ১: 39 = 3 × 13,পদক্ষেপ ২: 65 = 5 × 13,পদক্ষেপ ৩: 91 = 7 × 13,পদক্ষেপ ৪: সাধাৰণ উৎপাদক = 13,উত্তৰ: (ঘ) 13
Q29. A rectangular room is 4 m 40 cm wide and 5 m 60 cm long. What is the side of the largest square tile that can exactly cover the floor?
এটা আয়তাকাৰ কোঠাৰ প্ৰস্থ 4 মি 40 ছেমি আৰু দীঘ 5 মি 60 ছেমি। মজিয়াখন অবিকল ঢাকিব পৰা বৃহত্তম বৰ্গ টাইলৰ বাহু নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: The largest tile side = HCF of length and breadth (in cm).,Step 1: Length = 5 m 60 cm = 560 cm,Step 2: Breadth = 4 m 40 cm = 440 cm,Step 3: HCF of 560 and 440: 560 = 2⁴×5×7; 440 = 2³×5×11,Step 4: Common = 2³ × 5 = 40 cm,Answer: (a) 40 cm
ধাৰণা: বৃহত্তম টাইলৰ বাহু = দীঘ আৰু প্ৰস্থ (ছেমিত) ৰ গ.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: দীঘ = 5 মি 60 ছেমি = 560 ছেমি,পদক্ষেপ ২: প্ৰস্থ = 4 মি 40 ছেমি = 440 ছেমি,পদক্ষেপ ৩: 560 আৰু 440 ৰ গ.সা.গু.: 560 = 2⁴×5×7; 440 = 2³×5×11,পদক্ষেপ ৪: সাধাৰণ = 2³ × 5 = 40 ছেমি,উত্তৰ: (ক) 40 ছেমি
Q30. Find the smallest number which when divided by 3, 4, 5 leaves remainder 2, 3, 4 respectively.
3, 4, 5 ৰে ভাগ কৰিলে ক্ৰমে ভাগশেষ 2, 3, 4 ৰখা ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: Here differences 3−2=1, 4−3=1, 5−4=1 are equal.,Step 1: LCM of 3, 4, 5 = 60,Step 2: Number = LCM − common difference = 60 − 1,Step 3: = 59,Answer: (b) 59
ধাৰণা: ইয়াত পাৰ্থক্য 3−2=1, 4−3=1, 5−4=1 সমান।,পদক্ষেপ ১: 3, 4, 5 ৰ ল.সা.গু. = 60,পদক্ষেপ ২: সংখ্যা = ল.সা.গু. − সাধাৰণ পাৰ্থক্য = 60 − 1,পদক্ষেপ ৩: = 59,উত্তৰ: (খ) 59
Q31. Find the HCF of 2, 3 and 5.
2, 3 আৰু 5 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 2, 3, 5 are all primes (co-prime).,Step 2: HCF of co-prime numbers = 1,Answer: (c) 1
পদক্ষেপ ১: 2, 3, 5 সকলো মৌলিক (সহ-মৌলিক)।,পদক্ষেপ ২: সহ-মৌলিক সংখ্যাৰ গ.সা.গু. = 1,উত্তৰ: (গ) 1
Q32. Two numbers are in the ratio 5:6 and their HCF is 4. Find their LCM.
দুটা সংখ্যা 5:6 অনুপাতত আছে আৰু গ.সা.গু. 4। ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Let numbers be 5x, 6x; HCF = x = 4.,Step 1: Numbers = 5×4 = 20 and 6×4 = 24,Step 2: LCM of 20 and 24 = 120,Answer: (d) 120
সংখ্যা 5x, 6x ধৰো; গ.সা.গু. = x = 4,পদক্ষেপ ১: সংখ্যা = 5×4 = 20 আৰু 6×4 = 24,পদক্ষেপ ২: 20 আৰু 24 ৰ ল.সা.গু. = 120,উত্তৰ: (ঘ) 120
Q33. Find the greatest number which divides 82, 102 and 122 leaving remainder 2 in each case.
82, 102 আৰু 122 ক প্ৰতিটোতে ভাগশেষ 2 ৰাখি ভাগ কৰিব পৰা বৃহত্তম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Method: Subtract remainder 2 from each.,Step 1: 82−2 = 80; 102−2 = 100; 122−2 = 120,Step 2: HCF of 80, 100, 120: 80 = 2⁴×5; 100 = 2²×5²; 120 = 2³×3×5,Step 3: Common = 2² × 5 = 20,Answer: (a) 20
পদ্ধতি: প্ৰতিটোৰ পৰা ভাগশেষ 2 বিয়োগ।,পদক্ষেপ ১: 82−2 = 80; 102−2 = 100; 122−2 = 120,পদক্ষেপ ২: 80, 100, 120 ৰ গ.সা.গু.: 80 = 2⁴×5; 100 = 2²×5²; 120 = 2³×3×5,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ = 2² × 5 = 20,উত্তৰ: (ক) 20
Q34. Find the LCM of 4, 6, 10 and 15.
4, 6, 10 আৰু 15 ৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 4 = 2²; 6 = 2×3; 10 = 2×5; 15 = 3×5,Step 2: Highest powers: 2², 3, 5,Step 3: LCM = 4 × 3 × 5 = 60,Answer: (b) 60
পদক্ষেপ ১: 4 = 2²; 6 = 2×3; 10 = 2×5; 15 = 3×5,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2², 3, 5,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 4 × 3 × 5 = 60,উত্তৰ: (খ) 60
Q35. The LCM of two numbers is 420 and their HCF is 14. If one number is 84, find the other.
দুটা সংখ্যাৰ ল.সা.গু. 420 আৰু গ.সা.গু. 14। এটা সংখ্যা 84 হ'লে আনটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Formula: a × b = HCF × LCM.,Step 1: a × b = 14 × 420 = 5880,Step 2: 84 × b = 5880 → b = 5880 ÷ 84,Step 3: b = 70,Answer: (c) 70
সূত্ৰ: a × b = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: a × b = 14 × 420 = 5880,পদক্ষেপ ২: 84 × b = 5880 → b = 5880 ÷ 84,পদক্ষেপ ৩: b = 70,উত্তৰ: (গ) 70
Q36. Find the HCF of 144 and 180.
144 আৰু 180 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 144 = 2⁴ × 3²,Step 2: 180 = 2² × 3² × 5,Step 3: Common = 2² × 3² = 4 × 9 = 36,Answer: (d) 36
পদক্ষেপ ১: 144 = 2⁴ × 3²,পদক্ষেপ ২: 180 = 2² × 3² × 5,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ = 2² × 3² = 4 × 9 = 36,উত্তৰ: (ঘ) 36
Q37. Find the least number which is exactly divisible by 14, 21 and 35.
14, 21 আৰু 35 ৰে অবিকল বিভাজ্য ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 14 = 2 × 7; 21 = 3 × 7; 35 = 5 × 7,Step 2: Highest powers: 2, 3, 5, 7,Step 3: LCM = 2 × 3 × 5 × 7 = 210,Answer: (a) 210
পদক্ষেপ ১: 14 = 2 × 7; 21 = 3 × 7; 35 = 5 × 7,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2, 3, 5, 7,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 2 × 3 × 5 × 7 = 210,উত্তৰ: (ক) 210
Q38. The HCF and LCM of two numbers are 6 and 84. If the numbers are in the ratio 2:3, find the numbers.
দুটা সংখ্যাৰ গ.সা.গু. 6 আৰু ল.সা.গু. 84। সংখ্যা দুটা 2:3 অনুপাতত থাকিলে নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Let numbers be 2x and 3x; HCF = x = 6.,Step 1: Numbers = 2×6 = 12 and 3×6 = 18,Step 2: Verify: product = 12 × 18 = 216,Step 3: HCF × LCM = 6 × 84 = 504 ≠ 216 (inconsistent). But by ratio and HCF, numbers are 12 and 18.,Answer: (b) 12 and 18
সংখ্যা 2x আৰু 3x ধৰো; গ.সা.গু. = x = 6,পদক্ষেপ ১: সংখ্যা = 2×6 = 12 আৰু 3×6 = 18,পদক্ষেপ ২: যাচাই: গুণফল = 12 × 18 = 216,পদক্ষেপ ৩: গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = 6 × 84 = 504 ≠ 216 (অসঙ্গত)। কিন্তু অনুপাত আৰু গ.সা.গু. মতে সংখ্যা 12 আৰু 18।,উত্তৰ: (খ) 12 আৰু 18
Q39. Find the greatest number that divides 58, 78 and 108 leaving remainder 3 in each case.
58, 78 আৰু 108 ক প্ৰতিটোতে ভাগশেষ 3 ৰাখি ভাগ কৰিব পৰা বৃহত্তম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Method: Subtract remainder 3 from each.,Step 1: 58−3 = 55; 78−3 = 75; 108−3 = 105,Step 2: 55 = 5×11; 75 = 3×5²; 105 = 3×5×7,Step 3: Common factor = 5,Answer: (c) 5
পদ্ধতি: প্ৰতিটোৰ পৰা ভাগশেষ 3 বিয়োগ।,পদক্ষেপ ১: 58−3 = 55; 78−3 = 75; 108−3 = 105,পদক্ষেপ ২: 55 = 5×11; 75 = 3×5²; 105 = 3×5×7,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ উৎপাদক = 5,উত্তৰ: (গ) 5
Q40. Find the HCF of 63 and 105.
63 আৰু 105 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 63 = 3² × 7,Step 2: 105 = 3 × 5 × 7,Step 3: Common = 3 × 7 = 21,Answer: (d) 21
পদক্ষেপ ১: 63 = 3² × 7,পদক্ষেপ ২: 105 = 3 × 5 × 7,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ = 3 × 7 = 21,উত্তৰ: (ঘ) 21
Q41. Find the least number which when divided by 7, 9 and 11 leaves remainder 5 in each case.
7, 9 আৰু 11 ৰে ভাগ কৰিলে প্ৰতিটোতে ভাগশেষ 5 ৰখা ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: Number = LCM(7, 9, 11) + 5.,Step 1: 7, 9, 11 are co-prime,Step 2: LCM = 7 × 9 × 11 = 693,Step 3: Number = 693 + 5 = 698,Answer: (a) 698
ধাৰণা: সংখ্যা = ল.সা.গু.(7, 9, 11) + 5,পদক্ষেপ ১: 7, 9, 11 সহ-মৌলিক,পদক্ষেপ ২: ল.সা.গু. = 7 × 9 × 11 = 693,পদক্ষেপ ৩: সংখ্যা = 693 + 5 = 698,উত্তৰ: (ক) 698
Q42. Find the greatest 4-digit number exactly divisible by 8, 12 and 20.
8, 12 আৰু 20 ৰে অবিকল বিভাজ্য বৃহত্তম 4-অংকীয় সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: LCM of 8, 12, 20 = 120,Step 2: 9999 ÷ 120 = 83 remainder 39,Step 3: Subtract: 9999 − 39 = 9960,Answer: (b) 9960
পদক্ষেপ ১: 8, 12, 20 ৰ ল.সা.গু. = 120,পদক্ষেপ ২: 9999 ÷ 120 = 83 ভাগশেষ 39,পদক্ষেপ ৩: বিয়োগ: 9999 − 39 = 9960,উত্তৰ: (খ) 9960
Q43. The product of two numbers is 2880 and their LCM is 480. Find their HCF.
দুটা সংখ্যাৰ গুণফল 2880 আৰু ল.সা.গু. 480। গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Formula: HCF = Product ÷ LCM.,Step 1: HCF = 2880 ÷ 480,Step 2: = 6,Answer: (c) 6
সূত্ৰ: গ.সা.গু. = গুণফল ÷ ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: গ.সা.গু. = 2880 ÷ 480,পদক্ষেপ ২: = 6,উত্তৰ: (গ) 6
Q44. Find the HCF and LCM of 16, 24 and 36.
16, 24 আৰু 36 ৰ গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 16 = 2⁴; 24 = 2³×3; 36 = 2²×3²,Step 2: HCF = common = 2² = 4,Step 3: LCM = highest powers = 2⁴ × 3² = 144,Answer: (d) HCF = 4, LCM = 144
পদক্ষেপ ১: 16 = 2⁴; 24 = 2³×3; 36 = 2²×3²,পদক্ষেপ ২: গ.সা.গু. = সাধাৰণ = 2² = 4,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = সৰ্বোচ্চ ঘাত = 2⁴ × 3² = 144,উত্তৰ: (ঘ) গ.সা.গু. = 4, ল.সা.গু. = 144
Q45. Find the smallest number divisible by all numbers from 1 to 10.
1 ৰ পৰা 10 লৈ সকলো সংখ্যাৰে বিভাজ্য ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Concept: This is LCM of 1 to 10.,Step 1: Prime powers up to 10: 2³, 3², 5, 7,Step 2: LCM = 8 × 9 × 5 × 7,Step 3: = 2520,Answer: (a) 2520
ধাৰণা: এইটো 1 ৰ পৰা 10 লৈ ল.সা.গু.,পদক্ষেপ ১: 10 লৈকে মৌলিক ঘাত: 2³, 3², 5, 7,পদক্ষেপ ২: ল.সা.গু. = 8 × 9 × 5 × 7,পদক্ষেপ ৩: = 2520,উত্তৰ: (ক) 2520
Q46. The sum of two numbers is 96 and their HCF is 12. If their LCM is 180, find the numbers.
দুটা সংখ্যাৰ যোগফল 96 আৰু গ.সা.গু. 12। ল.সা.গু. 180 হ'লে সংখ্যা দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Let numbers be 12a and 12b where a, b are co-prime.,Step 1: 12a + 12b = 96 → a + b = 8,Step 2: LCM = 12ab = 180 → ab = 15,Step 3: Solve a + b = 8, ab = 15 → a, b = 3, 5,Step 4: Numbers = 12×3 = 36 and 12×5 = 60,Answer: (b) 60 and 36
সংখ্যা 12a আৰু 12b ধৰো য'ত a, b সহ-মৌলিক।,পদক্ষেপ ১: 12a + 12b = 96 → a + b = 8,পদক্ষেপ ২: ল.সা.গু. = 12ab = 180 → ab = 15,পদক্ষেপ ৩: a + b = 8, ab = 15 সমাধান → a, b = 3, 5,পদক্ষেপ ৪: সংখ্যা = 12×3 = 36 আৰু 12×5 = 60,উত্তৰ: (খ) 60 আৰু 36
Q47. Find the LCM of 27 and 45.
27 আৰু 45 ৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 27 = 3³; 45 = 3² × 5,Step 2: Highest powers: 3³, 5,Step 3: LCM = 27 × 5 = 135,Answer: (c) 135
পদক্ষেপ ১: 27 = 3³; 45 = 3² × 5,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 3³, 5,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 27 × 5 = 135,উত্তৰ: (গ) 135
Q48. Find the HCF of 66 and 121.
66 আৰু 121 ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 66 = 2 × 3 × 11,Step 2: 121 = 11²,Step 3: Common factor = 11,Answer: (d) 11
পদক্ষেপ ১: 66 = 2 × 3 × 11,পদক্ষেপ ২: 121 = 11²,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ উৎপাদক = 11,উত্তৰ: (ঘ) 11
Q49. Four numbers are 12, 18, 24 and 36. Find their LCM.
চাৰিটা সংখ্যা 12, 18, 24 আৰু 36। তেওঁলোকৰ ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Step 1: 12 = 2²×3; 18 = 2×3²; 24 = 2³×3; 36 = 2²×3²,Step 2: Highest powers: 2³, 3²,Step 3: LCM = 8 × 9 = 72,Answer: (a) 72
পদক্ষেপ ১: 12 = 2²×3; 18 = 2×3²; 24 = 2³×3; 36 = 2²×3²,পদক্ষেপ ২: সৰ্বোচ্চ ঘাত: 2³, 3²,পদক্ষেপ ৩: ল.সা.গু. = 8 × 9 = 72,উত্তৰ: (ক) 72
Q50. Find the greatest number that will divide 43, 91 and 183 so as to leave the same remainder in each case.
43, 91 আৰু 183 ক ভাগ কৰিলে প্ৰতিটোতে একে ভাগশেষ ৰাখিব পৰা বৃহত্তম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Method: Find HCF of the differences.,Step 1: 91 − 43 = 48; 183 − 91 = 92; 183 − 43 = 140,Step 2: HCF of 48, 92, 140: 48 = 2⁴×3; 92 = 2²×23; 140 = 2²×5×7,Step 3: Common = 2² = 4,Answer: (b) 4
পদ্ধতি: পাৰ্থক্যবোৰৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয়।,পদক্ষেপ ১: 91 − 43 = 48; 183 − 91 = 92; 183 − 43 = 140,পদক্ষেপ ২: 48, 92, 140 ৰ গ.সা.গু.: 48 = 2⁴×3; 92 = 2²×23; 140 = 2²×5×7,পদক্ষেপ ৩: সাধাৰণ = 2² = 4,উত্তৰ: (খ) 4

LCM and HCF

Every number carries two special companions. The largest number that divides it and another number completely is called the highest common factor, and the smallest number that both of them divide completely is called the lowest common multiple. These two companions, the HCF and the LCM, stand at the base of almost the whole of arithmetic. Fractions cannot be added without a common denominator, ratios cannot be reduced to their lowest terms, and events that repeat at fixed intervals cannot be synchronised without this chapter. In competitive examinations the questions are short, but the examiner hides them in many costumes: bells that ring together, square tiles that cover a floor exactly, soldiers who must march in equal rows, and numbers that leave the same remainder. A candidate who understands the link between the HCF and the LCM and can compute both quickly will find this one of the most dependable scoring chapters.

Basic Terms

  • Factor: a number that divides another number exactly, leaving no remainder.
  • Multiple: the number obtained when a given number is multiplied by a whole number.
  • Common factor: a factor that is shared by two or more given numbers.
  • HCF or GCD: the greatest number that divides each of the given numbers exactly.
  • LCM: the smallest number that is a multiple of each of the given numbers.
  • Co-prime numbers: two numbers whose only common factor is one.
  • Prime factorisation: writing a number as a product of its prime factors.

The HCF is always smaller than or equal to the smallest of the given numbers, and the LCM is always larger than or equal to the largest of them. This simple observation is often enough to reject wrong options quickly.

The Core Formulas

  • HCF × LCM = Product of the two numbers (true for exactly two numbers).
  • HCF of fractions = HCF of the numerators divided by the LCM of the denominators.
  • LCM of fractions = LCM of the numerators divided by the HCF of the denominators.
  • If two numbers are co-prime, then LCM = product of the numbers.
  • Smallest number that leaves remainder r with each divisor = LCM + r.
  • Greatest number that divides a, b and c leaving the same remainder = HCF of (a − r), (b − r), (c − r).

These relations cover nearly every question that the examination can set. The candidate should remember that the product rule holds only for two numbers; for three or more numbers it does not apply, and the factorisation method must be used instead.

Finding HCF and LCM by Prime Factorisation

The most reliable method is to break each number into prime factors. For the HCF, we take only those primes that appear in every number, each to the lowest power in which it occurs. For the LCM, we take every prime that appears in any number, each to the highest power in which it occurs. If the numbers are 12 and 18, their factorisations are two squared times three and two times three squared. The HCF takes two once and three once, giving six, while the LCM takes two squared and three squared, giving thirty-six. Notice that six times thirty-six is two hundred and sixteen, exactly the product of twelve and eighteen.

The Division Method

When the numbers are large, the long division method is faster than factorisation. For the HCF of two numbers, we divide the larger by the smaller, then divide the divisor by the remainder, and continue until the remainder becomes zero; the last divisor is the HCF. The LCM can then be obtained from the product rule by dividing the product of the numbers by their HCF. This method is particularly useful for three or more numbers, where the HCF is found by taking two numbers at a time and carrying the result forward.

The Product Relation

The relation that the HCF multiplied by the LCM equals the product of two numbers is the single most useful shortcut in this chapter. Whenever a question supplies the HCF, the LCM and one number, the other number can be found at once without any factorisation. The relation also allows us to check an answer: if the product of the HCF and the LCM does not equal the product of the numbers, then an error has been made. For three or more numbers this neat rule fails, and the candidate must fall back on prime factorisation.

HCF and LCM of Fractions

Fractions are handled by a simple rule. The HCF of several fractions is the HCF of their numerators divided by the LCM of their denominators, and the LCM of several fractions is the LCM of their numerators divided by the HCF of their denominators. The reason is that a common factor of fractions must divide every numerator and must appear in every denominator in the smallest possible way. This rule appears in questions that ask for the greatest fraction that divides several fractions exactly, or the smallest fraction that is a multiple of several fractions.

Remainder Problems

A large family of questions speaks of remainders. If a number leaves the same remainder r when divided by several divisors, then subtracting r from the number leaves a multiple of every divisor, so the number is LCM plus r. If instead each division falls short by the same amount, the number equals LCM minus that shortfall. The greatest number that divides several numbers leaving the same remainder is the HCF of their differences. Recognising which of these three patterns is being used is the whole art of such questions.

Word Problems: Bells, Tiles and Rounds

Word problems are only the formulas dressed in a story. Bells that ring at different intervals ring together again after a time equal to the LCM of the intervals. Square tiles of the largest size that can cover a rectangular floor exactly have a side equal to the HCF of the length and the breadth. Soldiers who must be arranged in rows of different sizes are grouped using the LCM. Whenever a question speaks of things that meet again, repeat together, or fit exactly, the LCM is at work; whenever it speaks of the greatest or largest measure that fits, the HCF is at work.

How This Chapter Appears in the Examination

ADRE, APSC, Assam Police, SSC and Railway papers regularly ask one or two questions from this chapter, and the questions are usually quick. The favourite forms are the product relation, the remainder type, and the bell or tile story. Because the calculation is light and the method is fixed, this chapter rewards practice rather than cleverness. Twenty well-chosen questions are normally enough to meet every variety that the paper can produce.

Common Mistakes to Avoid

  • Using the product rule HCF × LCM = product for three or more numbers.
  • Taking the highest power of a prime for the HCF instead of the lowest, or the reverse for the LCM.
  • Forgetting to subtract the common remainder before finding the HCF of differences.
  • Mixing the rules for fractions, that is, using the HCF of denominators where the LCM is required.
  • Assuming that co-prime numbers must themselves be prime.

How to Prepare This Topic

  1. Learn to write any number as the product of its prime factors.
  2. Practise finding the HCF and the LCM of two numbers by factorisation.
  3. Learn the division method so that large numbers can be handled quickly.
  4. Move on to fractions, remainders and the product relation.
  5. Finish with word problems about bells, tiles and rounds.

Frequently Asked Questions

What is the difference between the HCF and the LCM?

The HCF is the greatest number that divides the given numbers exactly, while the LCM is the smallest number that the given numbers divide exactly. The HCF is never larger than the smallest given number, and the LCM is never smaller than the largest given number. For two numbers their product equals the product of the HCF and the LCM.

Is HCF × LCM always equal to the product of the numbers?

Only for exactly two numbers. For three or more numbers this relation does not hold, so the candidate must use prime factorisation or the division method. This is one of the most common sources of error in the examination.

How do you find the LCM of fractions?

Divide the LCM of the numerators by the HCF of the denominators. For example, the LCM of one half and one third is the LCM of one and one, which is one, divided by the HCF of two and three, which is one, giving six. The HCF of fractions is the reverse: HCF of numerators divided by LCM of denominators.

How do you handle a number that leaves the same remainder with every divisor?

Subtract the common remainder from the number, and the result is a multiple of every divisor. Hence the smallest such number is the LCM of the divisors plus the remainder. If every divisor falls short by the same amount, the number equals the LCM minus that shortfall.

How should I prepare this topic for ADRE and APSC?

Begin with prime factorisation, then learn to find the HCF and the LCM of two numbers by both factorisation and division. After that study the product relation, fractions and remainders, and finish with bell and tile word problems. Attempt twenty questions and revise every mistake on the same day.

গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু.

প্ৰতিটো সংখ্যাৰ দুটা বিশেষ সংগী থাকে। যি আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাই এই সংখ্যা আৰু আন এটা সংখ্যাক সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰে তাক গৰিষ্ঠ সাধাৰণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. বোলা হয়, আৰু যি আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাক এই দুয়ো সংখ্যাই সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰে তাক লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক বা ল.সা.গু. বোলা হয়। এই দুটা সংগী, গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু., প্ৰায় গোটেই পাটীগণিতৰ ভেটিত থাকে। সাধাৰণ হৰ নোহোৱাকৈ ভগ্নাংশ যোগ কৰিব নোৱাৰি, অনুপাতক আটাইতকৈ সৰল ৰূপলৈ ৰূপান্তৰ কৰিব নোৱাৰি, আৰু সমান ব্যৱধানত পুনৰাবৃত্তি হোৱা ঘটনাবোৰক এই অধ্যায় নোহোৱাকৈ সমকালীন কৰিব নোৱাৰি। প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাত প্ৰশ্নবোৰ চুটি, কিন্তু পৰীক্ষকে সেয়া বহুত ৰূপত লুকুৱাই ৰাখে: একেলগে বাজ হোৱা ঘণ্টা, মজিয়া সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাকিব পৰা বৰ্গ টাইলছ, সমান শাৰীত মাৰ্চ কৰিব লগা সৈনিক, আৰু একে ভাগশেষ এৰি যোৱা সংখ্যা। যি প্ৰাৰ্থীয়ে গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু.ৰ সম্পৰ্ক বুজে আৰু দুয়োকে দ্ৰুতভাৱে উলিয়াব জানে তেওঁৰ বাবে এই অধ্যায় আটাইতকৈ নিৰ্ভৰযোগ্য নম্বৰ লাভ কৰাৰ এটা ক্ষেত্ৰ হ'ব।

মূল শব্দাৱলী

  • গুণনীয়ক: যি সংখ্যাই আন এটা সংখ্যাক ভাগশেষ নেৰাকৈ সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰে।
  • গুণিতক: এটা দিয়া সংখ্যাক এটা পূৰ্ণসংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা সংখ্যা।
  • সাধাৰণ গুণনীয়ক: দুটা বা অধিক দিয়া সংখ্যাই ভাগ কৰা এটা গুণনীয়ক।
  • গ.সা.গু. বা গৰিষ্ঠ সাধাৰণ গুণনীয়ক: দিয়া প্ৰতিটো সংখ্যাক সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা।
  • ল.সা.গু.: দিয়া প্ৰতিটো সংখ্যাৰ গুণিতক হোৱা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা।
  • পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা: যি দুটা সংখ্যাৰ একমাত্ৰ সাধাৰণ গুণনীয়ক এটা।
  • মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: এটা সংখ্যাক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে লিখা।

গ.সা.গু. সদায় দিয়া সংখ্যাবোৰৰ আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাতকৈ সৰু বা সমান হয়, আৰু ল.সা.গু. সদায় আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাতকৈ ডাঙৰ বা সমান হয়। এই সৰল পৰ্যবেক্ষণেই প্ৰায়ে ভুল বিকল্পবোৰ দ্ৰুতভাৱে বাদ দিবলৈ যথেষ্ট।

মূল সূত্ৰসমূহ

  • গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = দুটা সংখ্যাৰ গুণফল (ঠিক দুটা সংখ্যাৰ বাবে সত্য)।
  • ভগ্নাংশৰ গ.সা.গু. = লৱবোৰৰ গ.সা.গু. ÷ হৰবোৰৰ ল.সা.গু.।
  • ভগ্নাংশৰ ল.সা.গু. = লৱবোৰৰ ল.সা.গু. ÷ হৰবোৰৰ গ.সা.গু.।
  • দুটা সংখ্যা পৰস্পৰ মৌলিক হ'লে ল.সা.গু. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
  • ল.সা.গু. + r সংখ্যাটোৱে প্ৰতিটো হৰেৰে ভাগ কৰিলে r ভাগশেষ এৰে (য'ত r একেই)।
  • a, b, c ক ভাগ কৰিলে একে ভাগশেষ এৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা = (a − r), (b − r), (c − r) ৰ গ.সা.গু.।

এই সম্পৰ্কবোৰেই পৰীক্ষাই সোধা প্ৰায় প্ৰতিটো প্ৰশ্ন সামৰি লয়। প্ৰাৰ্থীয়ে মনত ৰখা উচিত যে গুণফলৰ নিয়ম কেৱল দুটা সংখ্যাৰ বাবে প্ৰযোজ্য; তিনি বা অধিক সংখ্যাৰ বাবে ই প্ৰযোজ্য নহয়, আৰু তেতিয়া উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিব লাগে।

মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণেৰে গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু. উলিওৱা

আটাইতকৈ নিৰ্ভৰযোগ্য পদ্ধতি হৈছে প্ৰতিটো সংখ্যাক মৌলিক উৎপাদকলৈ ভাঙি পেলোৱা। গ.সা.গু.ৰ বাবে আমি কেৱল সেই মৌলিকবোৰ লওঁ যিবোৰ প্ৰতিটো সংখ্যাতে আছে, আৰু প্ৰত্যেককে ইয়াৰ আটাইতকৈ কম ঘাতত লওঁ। ল.সা.গু.ৰ বাবে আমি যিকোনো সংখ্যাত থকা প্ৰতিটো মৌলিক লওঁ, আৰু প্ৰত্যেককে ইয়াৰ আটাইতকৈ বেছি ঘাতত লওঁ। সংখ্যা 12 আৰু 18 হ'লে সিহঁতৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ হৈছে দুৰ বৰ্গ গুণ তিনি আৰু দু গুণ তিনিৰ বৰ্গ। গ.সা.গু.এ দুবাৰ দু আৰু এবাৰ তিনি লৈ ছয় দিয়ে, আনহাতে ল.সা.গু.এ দুৰ বৰ্গ আৰু তিনিৰ বৰ্গ লৈ ছত্ৰিশ দিয়ে। মন কৰক, ছয় গুণ ছত্ৰিশ দুশ ষোল্ল, যি ঠিক বাৰ আৰু আঠৰ গুণফল।

ভাগ পদ্ধতি

সংখ্যাবোৰ ডাঙৰ হ'লে উৎপাদক বিশ্লেষণতকৈ দীৰ্ঘ ভাগ পদ্ধতি দ্ৰুততৰ। দুটা সংখ্যাৰ গ.সা.গু.ৰ বাবে আমি ডাঙৰটোক সৰুটোৰে ভাগ কৰোঁ, তাৰ পিছত হৰক ভাগশেষেৰে ভাগ কৰোঁ, আৰু ভাগশেষ শূন্য নোহোৱালৈকে আগবাঢ়োঁ; শেষৰ হৰটোৱেই গ.সা.গু.। তাৰ পিছত সংখ্যা দুটাৰ গুণফলক সিহঁতৰ গ.সা.গু.ৰে ভাগ কৰি ল.সা.গু. পাব পাৰি। এই পদ্ধতি তিনি বা অধিক সংখ্যাৰ বাবে বিশেষভাৱে উপযোগী, য'ত দুটা-দুটা সংখ্যা লৈ গ.সা.গু. উলিয়াই ফলাফল আগবঢ়াই নিয়া হয়।

গুণফলৰ সম্পৰ্ক

গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু.ৰ গুণফল দুটা সংখ্যাৰ গুণফলৰ সমান — এই সম্পৰ্কটোৱেই এই অধ্যায়ৰ আটাইতকৈ উপযোগী চমু পথ। যেতিয়াই কোনো প্ৰশ্নই গ.সা.গু., ল.সা.গু. আৰু এটা সংখ্যা দিয়ে, তেতিয়া আনটো সংখ্যা কোনো উৎপাদক বিশ্লেষণ নকৰাকৈয়ে লগে লগে উলিয়াব পাৰি। এই সম্পৰ্কই উত্তৰ পৰীক্ষা কৰিবলৈয়ো সহায় কৰে: যদি গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু.ৰ গুণফল সংখ্যাবোৰৰ গুণফলৰ সমান নহয়, তেন্তে কিবা ভুল হৈছে। তিনি বা অধিক সংখ্যাৰ বাবে এই পৰিষ্কাৰ নিয়মটো নচলে, আৰু প্ৰাৰ্থীয়ে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণলৈ ঘূৰি যাব লাগে।

ভগ্নাংশৰ গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু.

ভগ্নাংশবোৰ এটা সৰল নিয়মেৰে সমাধান কৰা হয়। কেইবাটাও ভগ্নাংশৰ গ.সা.গু. হৈছে সিহঁতৰ লৱবোৰৰ গ.সা.গু.ক হৰবোৰৰ ল.সা.গু.ৰে ভাগ কৰা মান, আৰু কেইবাটাও ভগ্নাংশৰ ল.সা.গু. হৈছে সিহঁতৰ লৱবোৰৰ ল.সা.গু.ক হৰবোৰৰ গ.সা.গু.ৰে ভাগ কৰা মান। কাৰণটো হৈছে যে ভগ্নাংশবোৰৰ সাধাৰণ গুণনীয়ক এটাই প্ৰতিটো লৱক ভাগ কৰিব লাগে আৰু প্ৰতিটো হৰত আটাইতকৈ সৰু ৰূপত থাকিব লাগে। এই নিয়ম কেইবাটাও ভগ্নাংশক সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ ভগ্নাংশ, বা কেইবাটাও ভগ্নাংশৰ গুণিতক হোৱা আটাইতকৈ সৰু ভগ্নাংশ সোধা প্ৰশ্নত দেখা যায়।

ভাগশেষৰ সমস্যা

এক বৃহৎ পৰিয়ালৰ প্ৰশ্নই ভাগশেষৰ কথা কয়। যদি এটা সংখ্যাই কেইবাটাও হৰেৰে ভাগ কৰিলে একেই ভাগশেষ r এৰি যায়, তেন্তে সংখ্যাটোৰ পৰা r বিয়োগ কৰিলে প্ৰতিটো হৰৰ গুণিতক থাকে, সেয়ে সংখ্যাটো ল.সা.গু. যোগ r। যদি বিপৰীতে প্ৰতিটো হৰে একেই পৰিমাণে কম হৈ যায়, তেন্তে সংখ্যাটো ল.সা.গু.ৰ পৰা সেই পৰিমাণ বিয়োগ কৰা মানৰ সমান। কেইবাটাও সংখ্যাক ভাগ কৰিলে একেই ভাগশেষ এৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা হৈছে সিহঁতৰ পাৰ্থক্যবোৰৰ গ.সা.গু.। এই তিনি আৰ্হিৰ ভিতৰত কোনটো ব্যৱহাৰ হৈছে চিনি পোৱাই এনে প্ৰশ্নৰ গোটেই কলা।

শব্দ সমস্যা: ঘণ্টা, টাইলছ আৰু পাক

শব্দ সমস্যা কেৱল কাহিনীত সজ্জিত সূত্ৰ। বেলেগ বেলেগ ব্যৱধানত বাজ হোৱা ঘণ্টাবোৰ ব্যৱধানবোৰৰ ল.সা.গু.ৰ সমান সময়ৰ পিছত পুনৰ একেলগে বাজে। আয়তাকাৰ মজিয়া সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাকিব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ বৰ্গ টাইলৰ বাহু দীঘ আৰু প্ৰস্থৰ গ.সা.গু.ৰ সমান। বেলেগ আকাৰৰ শাৰীত সজাব লগা সৈনিকসকলক ল.সা.গু. ব্যৱহাৰ কৰি গোট কৰা হয়। যেতিয়াই কোনো প্ৰশ্নই পুনৰ লগ হোৱা, একেলগে পুনৰাবৃত্তি হোৱা, বা ঠিক মিলি যোৱা বস্তুৰ কথা কয়, তেতিয়া ল.সা.গু. কামত আছে; যেতিয়াই আটাইতকৈ ডাঙৰ বা সৰ্বোচ্চ মাপ সোধা হয়, তেতিয়া গ.সা.গু. কামত আছে।

পৰীক্ষাত এই অধ্যায় কেনেকৈ আহে

ADRE, APSC, অসম আৰক্ষী, SSC আৰু ৰে'লৱে প্ৰশ্নপত্ৰই এই অধ্যায়ৰ পৰা নিয়মীয়াকৈ এটা বা দুটা প্ৰশ্ন সোধে, আৰু প্ৰশ্নবোৰ সাধাৰণতে দ্ৰুত। প্ৰিয় ৰূপবোৰ হৈছে গুণফলৰ সম্পৰ্ক, ভাগশেষৰ ধৰণ, আৰু ঘণ্টা বা টাইলৰ কাহিনী। গণনা হালকা আৰু পদ্ধতি নিৰ্দিষ্ট হোৱাৰ বাবে এই অধ্যায়ে বুদ্ধিতকৈ অভ্যাসক পুৰস্কৃত কৰে। বিশটা ভালদৰে বাছনি কৰা প্ৰশ্নই সাধাৰণতে প্ৰশ্নপত্ৰই সৃষ্টি কৰিব পৰা প্ৰতিটো ভিন্নতা সামৰি ল'বলৈ যথেষ্ট।

এৰাই চলিবলগীয়া সাধাৰণ ভুল

  • তিনি বা অধিক সংখ্যাৰ বাবে গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = গুণফল নিয়ম ব্যৱহাৰ কৰা।
  • গ.সা.গু.ৰ বাবে মৌলিকৰ কম ঘাতৰ সলনি বেছি ঘাত লোৱা, বা ল.সা.গু.ৰ বাবে ওলোটা কৰা।
  • পাৰ্থক্যবোৰৰ গ.সা.গু. উলিওৱাৰ আগতে সাধাৰণ ভাগশেষ বিয়োগ কৰিবলৈ পাহৰি যোৱা।
  • ভগ্নাংশৰ নিয়ম মিলাই দিয়া, অৰ্থাৎ য'ত ল.সা.গু. লাগে তাত হৰৰ গ.সা.গু. ব্যৱহাৰ কৰা।
  • পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যাবোৰ নিজেই মৌলিক হ'ব লাগিব বুলি ধৰি লোৱা।

এই বিষয়ৰ প্ৰস্তুতি কেনেকৈ কৰিব

  1. যিকোনো সংখ্যাক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে লিখিবলৈ শিকক।
  2. উৎপাদক বিশ্লেষণেৰে দুটা সংখ্যাৰ গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু. উলিওৱাৰ অভ্যাস কৰক।
  3. ভাগ পদ্ধতি শিকক যাতে ডাঙৰ সংখ্যাবোৰ দ্ৰুতভাৱে সমাধান কৰিব পাৰি।
  4. ভগ্নাংশ, ভাগশেষ আৰু গুণফলৰ সম্পৰ্কলৈ আগবাঢ়ক।
  5. শেষত ঘণ্টা, টাইলছ আৰু পাকৰ শব্দ সমস্যাৰে সামৰণি মাৰক।

সাধু সোধা প্ৰশ্ন

গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু.ৰ মাজৰ পাৰ্থক্য কি?

গ.সা.গু. হৈছে দিয়া সংখ্যাবোৰক সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা, আনহাতে ল.সা.গু. হৈছে দিয়া সংখ্যাবোৰে সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা। গ.সা.গু. কেতিয়াও আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাতকৈ ডাঙৰ নহয়, আৰু ল.সা.গু. কেতিয়াও আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাতকৈ সৰু নহয়। দুটা সংখ্যাৰ বাবে সিহঁতৰ গুণফল গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু.ৰ গুণফলৰ সমান।

গ.সা.গু. × ল.সা.গু. সদায় সংখ্যাবোৰৰ গুণফলৰ সমান নেকি?

কেৱল ঠিক দুটা সংখ্যাৰ বাবে। তিনি বা অধিক সংখ্যাৰ বাবে এই সম্পৰ্ক নাখাটে, সেয়ে প্ৰাৰ্থীয়ে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ বা ভাগ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিব লাগে। এইটো পৰীক্ষাত হোৱা আটাইতকৈ সাধাৰণ ভুলৰ এটা।

ভগ্নাংশৰ ল.সা.গু. কেনেকৈ উলিয়াব?

লৱবোৰৰ ল.সা.গু.ক হৰবোৰৰ গ.সা.গু.ৰে ভাগ কৰক। উদাহৰণস্বৰূপে, এ-দুই আৰু এ-তিনিৰ ল.সা.গু. হৈছে এ আৰু এৰ ল.সা.গু., অৰ্থাৎ এ, ক দুই আৰু তিনিৰ গ.সা.গু. অৰ্থাৎ এৰে ভাগ কৰিলে ছয়। ভগ্নাংশৰ গ.সা.গু. ইয়াৰ ওলোটা: লৱবোৰৰ গ.সা.গু. ভাগ হৰবোৰৰ ল.সা.গু.।

প্ৰতিটো হৰেৰে একেই ভাগশেষ এৰা সংখ্যাক কেনেকৈ সমাধান কৰিব?

সংখ্যাটোৰ পৰা সাধাৰণ ভাগশেষ বিয়োগ কৰক, ফলাফলটো প্ৰতিটো হৰৰ গুণিতক হ'ব। সেয়ে এনে আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা হৈছে হৰবোৰৰ ল.সা.গু. যোগ ভাগশেষ। যদি প্ৰতিটো হৰে একেই পৰিমাণে কম হৈ যায়, তেন্তে সংখ্যাটো ল.সা.গু.ৰ পৰা সেই পৰিমাণ বিয়োগ কৰা মানৰ সমান।

ADRE আৰু APSC ৰ বাবে এই বিষয় কেনেকৈ প্ৰস্তুতি কৰিব?

মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ পৰা আৰম্ভ কৰক, তাৰ পিছত উৎপাদক বিশ্লেষণ আৰু ভাগ পদ্ধতি দুয়োটাৰে দুটা সংখ্যাৰ গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু. উলিয়াবলৈ শিকক। তাৰ পিছত গুণফলৰ সম্পৰ্ক, ভগ্নাংশ আৰু ভাগশেষ অধ্যয়ন কৰক, আৰু শেষত ঘণ্টা আৰু টাইলৰ শব্দ সমস্যাৰে সামৰণি মাৰক। বিশটা প্ৰশ্ন চেষ্টা কৰক আৰু প্ৰতিটো ভুল সেইদিনাই পুনৰালোচনা কৰক।

These LCM and HCF questions are written to make the calculation part of the exam feel routine. The concepts, formulas and shortcuts follow the Master Book: Maths Masti (D. Hurina), and every sum is solved in clear steps. Work through the questions first, then read the method, and repeat the set after a few days to lock in the technique.

Author: Axom Exam TeamReference source: Master Book: Maths Masti (D. Hurina)Published: 29 August 2026

এই পৃষ্ঠাৰ সমল অসমৰ প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাৰ বাবে প্ৰস্তুত কৰা হৈছে। প্ৰতিটো প্ৰশ্ন দ্বিভাষিক আৰু প্ৰতিটো উত্তৰ চমুকৈ ব্যাখ্যা কৰা হৈছে। সমল মানক প্ৰসংগ পুথি আৰু বিশ্বাসযোগ্য অনলাইন উৎসৰ আধাৰত প্ৰস্তুত কৰা হয়।

লেখক: Axom Exam Teamপ্ৰসংগ উৎস: মানক প্ৰসংগ পুথি আৰু বিশ্বাসযোগ্য অনলাইন উৎসপ্ৰকাশিত: 29 আগষ্ট 2026