A axomexam.in

Geometry

50+ most important Geometry questions with full step-by-step solutions for Assam competitive exams. Useful for APSC, ADRE 2.0, Assam Police, SSC and Railway exams in Assam.

63 Questions with Answers

Q1. Two angles of a triangle are 50° and 60°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 50° আৰু 60°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (50° + 60°),= 180° − 110° = 70°,Answer: 70°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (50° + 60°),= 180° − 110° = 70°,উত্তৰ: 70°
Q2. Two angles of a triangle are 40° and 70°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 40° আৰু 70°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (40° + 70°),= 180° − 110° = 70°,Answer: 70°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (40° + 70°),= 180° − 110° = 70°,উত্তৰ: 70°
Q3. Two angles of a triangle are 55° and 65°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 55° আৰু 65°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (55° + 65°),= 180° − 120° = 60°,Answer: 60°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (55° + 65°),= 180° − 120° = 60°,উত্তৰ: 60°
Q4. Two angles of a triangle are 45° and 75°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 45° আৰু 75°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (45° + 75°),= 180° − 120° = 60°,Answer: 60°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (45° + 75°),= 180° − 120° = 60°,উত্তৰ: 60°
Q5. Two angles of a triangle are 60° and 60°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 60° আৰু 60°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (60° + 60°),= 180° − 120° = 60°,Answer: 60°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (60° + 60°),= 180° − 120° = 60°,উত্তৰ: 60°
Q6. Two angles of a triangle are 35° and 85°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 35° আৰু 85°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (35° + 85°),= 180° − 120° = 60°,Answer: 60°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (35° + 85°),= 180° − 120° = 60°,উত্তৰ: 60°
Q7. Two angles of a triangle are 50° and 80°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 50° আৰু 80°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (50° + 80°),= 180° − 130° = 50°,Answer: 50°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (50° + 80°),= 180° − 130° = 50°,উত্তৰ: 50°
Q8. Two angles of a triangle are 70° and 40°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 70° আৰু 40°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (70° + 40°),= 180° − 110° = 70°,Answer: 70°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (70° + 40°),= 180° − 110° = 70°,উত্তৰ: 70°
Q9. Two angles of a triangle are 65° and 45°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 65° আৰু 45°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (65° + 45°),= 180° − 110° = 70°,Answer: 70°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (65° + 45°),= 180° − 110° = 70°,উত্তৰ: 70°
Q10. Two angles of a triangle are 30° and 90°. Find the third angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা কোণ 30° আৰু 90°। তৃতীয়টো কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a triangle = 180°.,Third angle = 180° − (30° + 90°),= 180° − 120° = 60°,Answer: 60°
ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল = 180°।,তৃতীয় কোণ = 180° − (30° + 90°),= 180° − 120° = 60°,উত্তৰ: 60°
Q11. The interior opposite angles of a triangle are 50° and 60°. Find the exterior angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটা 50° আৰু 60°। বহিঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Exterior angle = sum of interior opposite angles.,= 50° + 60° = 110°,Answer: 110°
বহিঃস্থ কোণ = বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটাৰ যোগফল।,= 50° + 60° = 110°,উত্তৰ: 110°
Q12. The interior opposite angles of a triangle are 40° and 70°. Find the exterior angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটা 40° আৰু 70°। বহিঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Exterior angle = sum of interior opposite angles.,= 40° + 70° = 110°,Answer: 110°
বহিঃস্থ কোণ = বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটাৰ যোগফল।,= 40° + 70° = 110°,উত্তৰ: 110°
Q13. The interior opposite angles of a triangle are 55° and 65°. Find the exterior angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটা 55° আৰু 65°। বহিঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Exterior angle = sum of interior opposite angles.,= 55° + 65° = 120°,Answer: 120°
বহিঃস্থ কোণ = বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটাৰ যোগফল।,= 55° + 65° = 120°,উত্তৰ: 120°
Q14. The interior opposite angles of a triangle are 45° and 75°. Find the exterior angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটা 45° আৰু 75°। বহিঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Exterior angle = sum of interior opposite angles.,= 45° + 75° = 120°,Answer: 120°
বহিঃস্থ কোণ = বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটাৰ যোগফল।,= 45° + 75° = 120°,উত্তৰ: 120°
Q15. The interior opposite angles of a triangle are 30° and 80°. Find the exterior angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটা 30° আৰু 80°। বহিঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Exterior angle = sum of interior opposite angles.,= 30° + 80° = 110°,Answer: 110°
বহিঃস্থ কোণ = বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটাৰ যোগফল।,= 30° + 80° = 110°,উত্তৰ: 110°
Q16. The interior opposite angles of a triangle are 60° and 50°. Find the exterior angle.
এটা ত্ৰিভূজৰ বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটা 60° আৰু 50°। বহিঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Exterior angle = sum of interior opposite angles.,= 60° + 50° = 110°,Answer: 110°
বহিঃস্থ কোণ = বিপৰীত ভিতৰৰ কোণ দুটাৰ যোগফল।,= 60° + 50° = 110°,উত্তৰ: 110°
Q17. Two parallel lines are cut by a transversal. If one interior angle is 50°, find the adjacent interior angle.
দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা এডাল ছেদক ৰেখাই কাটিছে। যদি এটা অন্তঃস্থ কোণ 50°, তেন্তে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angles on the same side of a transversal are supplementary.,Adjacent angle = 180° − 50° = 130°,Answer: 130°
একেই ফালৰ অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,সন্নিহিত কোণ = 180° − 50° = 130°,উত্তৰ: 130°
Q18. Two parallel lines are cut by a transversal. If one interior angle is 60°, find the adjacent interior angle.
দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা এডাল ছেদক ৰেখাই কাটিছে। যদি এটা অন্তঃস্থ কোণ 60°, তেন্তে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angles on the same side of a transversal are supplementary.,Adjacent angle = 180° − 60° = 120°,Answer: 120°
একেই ফালৰ অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,সন্নিহিত কোণ = 180° − 60° = 120°,উত্তৰ: 120°
Q19. Two parallel lines are cut by a transversal. If one interior angle is 70°, find the adjacent interior angle.
দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা এডাল ছেদক ৰেখাই কাটিছে। যদি এটা অন্তঃস্থ কোণ 70°, তেন্তে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angles on the same side of a transversal are supplementary.,Adjacent angle = 180° − 70° = 110°,Answer: 110°
একেই ফালৰ অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,সন্নিহিত কোণ = 180° − 70° = 110°,উত্তৰ: 110°
Q20. Two parallel lines are cut by a transversal. If one interior angle is 80°, find the adjacent interior angle.
দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা এডাল ছেদক ৰেখাই কাটিছে। যদি এটা অন্তঃস্থ কোণ 80°, তেন্তে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angles on the same side of a transversal are supplementary.,Adjacent angle = 180° − 80° = 100°,Answer: 100°
একেই ফালৰ অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,সন্নিহিত কোণ = 180° − 80° = 100°,উত্তৰ: 100°
Q21. Two parallel lines are cut by a transversal. If one interior angle is 65°, find the adjacent interior angle.
দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা এডাল ছেদক ৰেখাই কাটিছে। যদি এটা অন্তঃস্থ কোণ 65°, তেন্তে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angles on the same side of a transversal are supplementary.,Adjacent angle = 180° − 65° = 115°,Answer: 115°
একেই ফালৰ অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,সন্নিহিত কোণ = 180° − 65° = 115°,উত্তৰ: 115°
Q22. Two parallel lines are cut by a transversal. If one interior angle is 55°, find the adjacent interior angle.
দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা এডাল ছেদক ৰেখাই কাটিছে। যদি এটা অন্তঃস্থ কোণ 55°, তেন্তে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angles on the same side of a transversal are supplementary.,Adjacent angle = 180° − 55° = 125°,Answer: 125°
একেই ফালৰ অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,সন্নিহিত কোণ = 180° − 55° = 125°,উত্তৰ: 125°
Q23. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 30°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 30° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 30°/2 = 15°,Answer: 15°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 30°/2 = 15°,উত্তৰ: 15°
Q24. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 40°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 40° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 40°/2 = 20°,Answer: 20°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 40°/2 = 20°,উত্তৰ: 20°
Q25. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 50°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 50° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 50°/2 = 25°,Answer: 25°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 50°/2 = 25°,উত্তৰ: 25°
Q26. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 60°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 60° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 60°/2 = 30°,Answer: 30°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 60°/2 = 30°,উত্তৰ: 30°
Q27. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 70°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 70° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 70°/2 = 35°,Answer: 35°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 70°/2 = 35°,উত্তৰ: 35°
Q28. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 80°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 80° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 80°/2 = 40°,Answer: 40°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 80°/2 = 40°,উত্তৰ: 40°
Q29. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 90°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 90° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 90°/2 = 45°,Answer: 45°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 90°/2 = 45°,উত্তৰ: 45°
Q30. In a circle, the angle subtended by a chord at the centre is 100°. Find the angle subtended at the circumference.
এটা বৃত্তত এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত 100° কোণ উৎপন্ন কৰে। পৰিধিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angle at the centre = 2 × angle at the circumference.,Angle at circumference = 100°/2 = 50°,Answer: 50°
কেন্দ্ৰস্থ কোণ = পৰিধিত কোণ × 2।,পৰিধিত কোণ = 100°/2 = 50°,উত্তৰ: 50°
Q31. In a cyclic quadrilateral, one angle is 100°. Find the opposite angle.
এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ এটা কোণ 100°। বিপৰীত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.,Opposite angle = 180° − 100° = 80°,Answer: 80°
চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,বিপৰীত কোণ = 180° − 100° = 80°,উত্তৰ: 80°
Q32. In a cyclic quadrilateral, one angle is 110°. Find the opposite angle.
এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ এটা কোণ 110°। বিপৰীত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.,Opposite angle = 180° − 110° = 70°,Answer: 70°
চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,বিপৰীত কোণ = 180° − 110° = 70°,উত্তৰ: 70°
Q33. In a cyclic quadrilateral, one angle is 120°. Find the opposite angle.
এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ এটা কোণ 120°। বিপৰীত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.,Opposite angle = 180° − 120° = 60°,Answer: 60°
চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,বিপৰীত কোণ = 180° − 120° = 60°,উত্তৰ: 60°
Q34. In a cyclic quadrilateral, one angle is 95°. Find the opposite angle.
এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ এটা কোণ 95°। বিপৰীত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.,Opposite angle = 180° − 95° = 85°,Answer: 85°
চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,বিপৰীত কোণ = 180° − 95° = 85°,উত্তৰ: 85°
Q35. In a cyclic quadrilateral, one angle is 105°. Find the opposite angle.
এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ এটা কোণ 105°। বিপৰীত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.,Opposite angle = 180° − 105° = 75°,Answer: 75°
চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,বিপৰীত কোণ = 180° − 105° = 75°,উত্তৰ: 75°
Q36. In a cyclic quadrilateral, one angle is 90°. Find the opposite angle.
এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ এটা কোণ 90°। বিপৰীত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.,Opposite angle = 180° − 90° = 90°,Answer: 90°
চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,বিপৰীত কোণ = 180° − 90° = 90°,উত্তৰ: 90°
Q37. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 3 cm and 4 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 3 চে.মি. আৰু 4 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25,h = √25 = 5 cm,Answer: 5 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25,h = √25 = 5 চে.মি.,উত্তৰ: 5 চে.মি.
Q38. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 6 cm and 8 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 6 চে.মি. আৰু 8 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100,h = √100 = 10 cm,Answer: 10 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100,h = √100 = 10 চে.মি.,উত্তৰ: 10 চে.মি.
Q39. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 5 cm and 12 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 5 চে.মি. আৰু 12 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169,h = √169 = 13 cm,Answer: 13 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169,h = √169 = 13 চে.মি.,উত্তৰ: 13 চে.মি.
Q40. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 9 cm and 12 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 9 চে.মি. আৰু 12 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225,h = √225 = 15 cm,Answer: 15 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225,h = √225 = 15 চে.মি.,উত্তৰ: 15 চে.মি.
Q41. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 8 cm and 15 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 8 চে.মি. আৰু 15 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289,h = √289 = 17 cm,Answer: 17 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289,h = √289 = 17 চে.মি.,উত্তৰ: 17 চে.মি.
Q42. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 7 cm and 24 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 7 চে.মি. আৰু 24 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625,h = √625 = 25 cm,Answer: 25 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625,h = √625 = 25 চে.মি.,উত্তৰ: 25 চে.মি.
Q43. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 12 cm and 16 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 12 চে.মি. আৰু 16 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400,h = √400 = 20 cm,Answer: 20 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400,h = √400 = 20 চে.মি.,উত্তৰ: 20 চে.মি.
Q44. In a right-angled triangle, the two perpendicular sides are 15 cm and 20 cm. Find the hypotenuse.
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজত সমকোণ সৃষ্টিকাৰী বাহু দুটা 15 চে.মি. আৰু 20 চে.মি.। অতিভুজ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: By Pythagoras theorem: h² = a² + b²,h² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625,h = √625 = 25 cm,Answer: 25 cm
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য অনুসৰি: h² = a² + b²,h² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625,h = √625 = 25 চে.মি.,উত্তৰ: 25 চে.মি.
Q45. Find the measure of each interior angle of a regular polygon with 5 sides.
5 বাহু বিশিষ্ট এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angle of regular n-gon = (n−2)×180°/n,= (5−2)×180°/5,= 3×180°/5 = 108°,Answer: 108°
সুষম n-বহুভূজৰ অন্তঃস্থ কোণ = (n−2)×180°/n,= (5−2)×180°/5,= 3×180°/5 = 108°,উত্তৰ: 108°
Q46. Find the measure of each interior angle of a regular polygon with 6 sides.
6 বাহু বিশিষ্ট এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angle of regular n-gon = (n−2)×180°/n,= (6−2)×180°/6,= 4×180°/6 = 120°,Answer: 120°
সুষম n-বহুভূজৰ অন্তঃস্থ কোণ = (n−2)×180°/n,= (6−2)×180°/6,= 4×180°/6 = 120°,উত্তৰ: 120°
Q47. Find the measure of each interior angle of a regular polygon with 8 sides.
8 বাহু বিশিষ্ট এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angle of regular n-gon = (n−2)×180°/n,= (8−2)×180°/8,= 6×180°/8 = 135°,Answer: 135°
সুষম n-বহুভূজৰ অন্তঃস্থ কোণ = (n−2)×180°/n,= (8−2)×180°/8,= 6×180°/8 = 135°,উত্তৰ: 135°
Q48. Find the measure of each interior angle of a regular polygon with 9 sides.
9 বাহু বিশিষ্ট এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angle of regular n-gon = (n−2)×180°/n,= (9−2)×180°/9,= 7×180°/9 = 140°,Answer: 140°
সুষম n-বহুভূজৰ অন্তঃস্থ কোণ = (n−2)×180°/n,= (9−2)×180°/9,= 7×180°/9 = 140°,উত্তৰ: 140°
Q49. Find the measure of each interior angle of a regular polygon with 10 sides.
10 বাহু বিশিষ্ট এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angle of regular n-gon = (n−2)×180°/n,= (10−2)×180°/10,= 8×180°/10 = 144°,Answer: 144°
সুষম n-বহুভূজৰ অন্তঃস্থ কোণ = (n−2)×180°/n,= (10−2)×180°/10,= 8×180°/10 = 144°,উত্তৰ: 144°
Q50. Find the measure of each interior angle of a regular polygon with 12 sides.
12 বাহু বিশিষ্ট এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Interior angle of regular n-gon = (n−2)×180°/n,= (12−2)×180°/12,= 10×180°/12 = 150°,Answer: 150°
সুষম n-বহুভূজৰ অন্তঃস্থ কোণ = (n−2)×180°/n,= (12−2)×180°/12,= 10×180°/12 = 150°,উত্তৰ: 150°
Q51. In an isosceles triangle, the vertex angle is 40°. Find each base angle.
এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষ কোণ 40°। প্ৰতিটো ভূমি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Base angles are equal. Sum = 180°.,Each base angle = (180° − 40°)/2,= 140°/2 = 70°,Answer: 70°
ভূমি কোণ দুটা সমান। মুঠ = 180°।,প্ৰতিটো ভূমি কোণ = (180° − 40°)/2,= 140°/2 = 70°,উত্তৰ: 70°
Q52. In an isosceles triangle, the vertex angle is 50°. Find each base angle.
এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষ কোণ 50°। প্ৰতিটো ভূমি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Base angles are equal. Sum = 180°.,Each base angle = (180° − 50°)/2,= 130°/2 = 65°,Answer: 65°
ভূমি কোণ দুটা সমান। মুঠ = 180°।,প্ৰতিটো ভূমি কোণ = (180° − 50°)/2,= 130°/2 = 65°,উত্তৰ: 65°
Q53. In an isosceles triangle, the vertex angle is 60°. Find each base angle.
এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষ কোণ 60°। প্ৰতিটো ভূমি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Base angles are equal. Sum = 180°.,Each base angle = (180° − 60°)/2,= 120°/2 = 60°,Answer: 60°
ভূমি কোণ দুটা সমান। মুঠ = 180°।,প্ৰতিটো ভূমি কোণ = (180° − 60°)/2,= 120°/2 = 60°,উত্তৰ: 60°
Q54. In an isosceles triangle, the vertex angle is 80°. Find each base angle.
এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষ কোণ 80°। প্ৰতিটো ভূমি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Base angles are equal. Sum = 180°.,Each base angle = (180° − 80°)/2,= 100°/2 = 50°,Answer: 50°
ভূমি কোণ দুটা সমান। মুঠ = 180°।,প্ৰতিটো ভূমি কোণ = (180° − 80°)/2,= 100°/2 = 50°,উত্তৰ: 50°
Q55. In an isosceles triangle, the vertex angle is 30°. Find each base angle.
এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষ কোণ 30°। প্ৰতিটো ভূমি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Base angles are equal. Sum = 180°.,Each base angle = (180° − 30°)/2,= 150°/2 = 75°,Answer: 75°
ভূমি কোণ দুটা সমান। মুঠ = 180°।,প্ৰতিটো ভূমি কোণ = (180° − 30°)/2,= 150°/2 = 75°,উত্তৰ: 75°
Q56. In an isosceles triangle, the vertex angle is 70°. Find each base angle.
এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষ কোণ 70°। প্ৰতিটো ভূমি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Base angles are equal. Sum = 180°.,Each base angle = (180° − 70°)/2,= 110°/2 = 55°,Answer: 55°
ভূমি কোণ দুটা সমান। মুঠ = 180°।,প্ৰতিটো ভূমি কোণ = (180° − 70°)/2,= 110°/2 = 55°,উত্তৰ: 55°
Q57. Each interior angle of an equilateral triangle is equal to?
এটা সমবাহু ত্ৰিভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ কিমান?
Answer: Sum of angles = 180°. All three are equal.,Each = 180°/3 = 60°,Answer: 60°
কোণৰ যোগফল = 180°। তিনিওটা সমান।,প্ৰতিটো = 180°/3 = 60°,উত্তৰ: 60°
Q58. Which of the following can be the sides of a triangle?
তলৰ কোনটো ত্ৰিভূজৰ বাহু হ'ব পাৰে?
Answer: Triangle inequality: sum of any two sides > third side.,3 + 4 = 7 > 5. So 3, 4, 5 form a triangle.,Answer: 3 cm, 4 cm, 5 cm
ত্ৰিভূজ অসমতা: যিকোনো দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ হ'ব লাগে।,3 + 4 = 7 > 5। সেয়ে 3, 4, 5 এটা ত্ৰিভূজ গঠন কৰে।,উত্তৰ: 3 চে.মি., 4 চে.মি., 5 চে.মি.
Q59. Two angles of a straight line are 3x and 6x. Find the value of x.
এডাল সৰল ৰেখাত দুটা কোণ 3x আৰু 6x। x ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Angles on a straight line sum to 180°.,3x + 6x = 180 => 9x = 180,x = 20,Answer: 20
সৰল ৰেখাত কোণৰ যোগফল 180°।,3x + 6x = 180 => 9x = 180,x = 20,উত্তৰ: 20
Q60. The complement of an angle of 35° is?
35° কোণৰ পূৰক কোণ কিমান?
Answer: Complementary angles sum to 90°.,= 90° − 35° = 55°,Answer: 55°
পূৰক কোণ দুটাৰ যোগফল 90°।,= 90° − 35° = 55°,উত্তৰ: 55°
Q61. The supplement of an angle of 70° is?
70° কোণৰ সম্পূৰক কোণ কিমান?
Answer: Supplementary angles sum to 180°.,= 180° − 70° = 110°,Answer: 110°
সম্পূৰক কোণ দুটাৰ যোগফল 180°।,= 180° − 70° = 110°,উত্তৰ: 110°
Q62. Three angles of a quadrilateral are 90°, 90° and 60°. Find the fourth angle.
এটা চতুৰ্ভূজৰ তিনিটা কোণ 90°, 90° আৰু 60°। চতুৰ্থ কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Sum of angles of a quadrilateral = 360°.,Fourth angle = 360° − (90+90+60)°,= 360° − 240° = 120°,Answer: 120°
চতুৰ্ভূজৰ কোণৰ যোগফল = 360°।,চতুৰ্থ কোণ = 360° − (90+90+60)°,= 360° − 240° = 120°,উত্তৰ: 120°
Q63. Two lines intersect. One of the vertically opposite angles is 40°. Find the adjacent angle.
দুডাল ৰেখাই পৰস্পৰ কাটিছে। শীৰ্ষবিন্দু বিপৰীত কোণ এটা 40°। সন্নিহিত কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
Answer: Adjacent angles on a straight line are supplementary.,= 180° − 40° = 140°,Answer: 140°
সৰল ৰেখাত সন্নিহিত কোণ দুটা সম্পূৰক।,= 180° − 40° = 140°,উত্তৰ: 140°

Geometry

Geometry is the branch of mathematics that studies shapes, sizes and the space around us. A farmer measuring his field, an architect drawing a plan and a carpenter cutting a plank all use geometry without calling it by that name. In competitive examinations in Assam, geometry appears as questions about angles, triangles, quadrilaterals, circles and polygons, and most of these questions can be answered from a small set of standard results. The chapter rewards a candidate who draws a clean diagram and who remembers the basic theorems, because a good diagram often reveals the answer before any calculation is begun.

Basic Terms

  • Point: a location with no size, shown by a dot and named by a capital letter.
  • Line, line segment and ray: a line extends endlessly in both directions, a segment has two fixed ends, and a ray has one end and extends endlessly in one direction.
  • Angle: the figure formed by two rays meeting at a common point called the vertex.
  • Triangle: a figure bounded by three line segments.
  • Quadrilateral: a figure bounded by four line segments.
  • Polygon: a closed figure bounded by three or more line segments.
  • Circle: the set of all points at a fixed distance from a fixed point called the centre.

Precise vocabulary is the foundation of geometry. A candidate who confuses a chord with a diameter, or a median with an altitude, will read a correct question incorrectly and lose the mark even though the geometry itself was understood.

The Core Results

  • Sum of the angles of a triangle = 180 degrees.
  • An exterior angle of a triangle equals the sum of the two interior opposite angles.
  • Pythagoras theorem, in a right triangle, the square on the hypotenuse equals the sum of the squares on the other two sides.
  • Sum of the interior angles of a polygon with n sides = (n − 2) × 180 degrees.
  • Area of a triangle = one half × base × height.
  • Area of a circle = π r squared, and circumference = 2 π r.

These results cover a very large proportion of examination questions. The candidate should be able to recall each of them instantly and to see which one applies to the figure in front of the question.

Lines and Angles

When two straight lines cross, the angles opposite each other are equal and are called vertically opposite angles. When a line crosses two parallel lines, corresponding angles are equal, alternate angles are equal, and the interior angles on the same side add up to 180 degrees. These facts about parallel lines are used constantly in questions that combine lines with triangles. The candidate should mark the equal angles on the diagram as soon as they are recognised, because this turns a complicated figure into a chain of simple equalities.

Triangles and Their Properties

The sum of the angles of any triangle is always 180 degrees, and this single fact solves a great many questions. In an isosceles triangle the angles opposite the equal sides are equal. In an equilateral triangle every angle is 60 degrees. The longest side is always opposite the largest angle, and the sum of any two sides is always greater than the third side. These properties allow the candidate to identify unknown angles and sides without any measurement, purely from the information given in the question.

Medians, Altitudes and Centres

A median joins a vertex to the midpoint of the opposite side, and the three medians meet at the centroid, which divides each median in the ratio two is to one. An altitude is the perpendicular from a vertex to the opposite side, and the three altitudes meet at the orthocentre. The perpendicular bisectors of the sides meet at the circumcentre, and the angle bisectors meet at the incentre. These four centres are frequently named in objective questions, and the candidate should know the definition of each and the special property of its triangle.

Congruence and Similarity

Two triangles are congruent when they are exactly alike in shape and size, and the standard tests are side-side-side, side-angle-side, angle-side-angle, and right-angle-hypotenuse-side. Two triangles are similar when they have the same shape but possibly different sizes, so that their corresponding angles are equal and their corresponding sides are in the same ratio. Similarity is a powerful tool, because it lets the candidate find an unknown length from a known ratio without measuring anything. Questions about shadows, ladders and similar figures are all solved by similarity.

The Pythagoras Theorem

In a right angled triangle the square on the hypotenuse equals the sum of the squares on the other two sides. This theorem links the three sides and is used to find a missing side when the other two are known. Some triples of whole numbers satisfy it, such as three, four and five, and five, twelve and thirteen, and recognising these triples saves calculation. The converse of the theorem also holds, and it is used to test whether a given triangle is right angled.

Quadrilaterals and Parallelograms

A quadrilateral has four sides and its angles add to 360 degrees. A parallelogram has both pairs of opposite sides parallel and equal, and its diagonals bisect each other. A rectangle is a parallelogram with a right angle, and its diagonals are equal. A rhombus is a parallelogram with all sides equal, and its diagonals cross at right angles. A square has the properties of both the rectangle and the rhombus. The candidate should know how these figures are related to one another, because many questions ask for the area or the diagonal of one of them.

Circles, Chords and Tangents

In a circle, a chord is a line joining two points on the circumference, and a diameter is the longest chord, passing through the centre. The perpendicular from the centre to a chord bisects the chord. A tangent touches the circle at exactly one point and is perpendicular to the radius at the point of contact. Tangents drawn from an external point to a circle are equal in length. An angle in a semicircle is a right angle. These results about circles appear in many objective questions and should be practised until they are second nature.

Polygons and Their Angles

A regular polygon has all sides equal and all angles equal. The sum of the interior angles of a polygon with n sides is (n − 2) times 180 degrees, and each interior angle of a regular polygon is that sum divided by n. The sum of the exterior angles of any polygon is always 360 degrees, whatever the number of sides. This last result is particularly useful, because it lets the candidate find the number of sides of a regular polygon from a single exterior angle.

How This Chapter Appears in the Examination

ADRE, APSC, Assam Police and SSC papers regularly include geometry, usually in the form of questions about angles, triangles, circles and areas. Many of the questions are solved by applying one standard result to a clearly drawn figure. Because the chapter rewards careful drawing and accurate recall of theorems, regular practice with diagrams is more valuable than memorising formulas without understanding. Twenty well-chosen questions are normally enough to cover the whole range of patterns that the examination can set.

Common Mistakes to Avoid

  • Confusing a chord with a diameter or a median with an altitude.
  • Assuming a triangle is right angled when this is not stated.
  • Adding interior angles of a quadrilateral to 180 instead of 360 degrees.
  • Using the wrong ratio when applying similarity.
  • Forgetting that a tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.

How to Prepare This Topic

  1. Learn the basic vocabulary and draw a clean diagram for every question.
  2. Revise the angles made by parallel lines and the angle sum of a triangle.
  3. Practise triangle properties, congruence and similarity.
  4. Move on to quadrilaterals, circles and polygons.
  5. Finish with area and perimeter questions, which combine geometry with mensuration.

Frequently Asked Questions

What is the sum of the angles of a triangle?

The sum of the three interior angles of any triangle is always 180 degrees. This single result is the basis of a very large number of geometry questions about angles.

What is the difference between congruence and similarity?

Congruent figures are exactly alike in shape and size, while similar figures have the same shape but may differ in size. In similar triangles the corresponding angles are equal and the corresponding sides are in the same ratio.

What does the Pythagoras theorem state?

In a right angled triangle the square on the hypotenuse equals the sum of the squares on the other two sides. It is used to find a missing side and to test whether a triangle is right angled.

What is the sum of the exterior angles of a polygon?

The sum of the exterior angles of any polygon is always 360 degrees, no matter how many sides it has. This lets us find the number of sides of a regular polygon from one exterior angle.

How should I prepare geometry for ADRE and APSC?

Learn the vocabulary and the standard theorems, draw a clean diagram for every question, and practise triangles, circles and areas. Attempt twenty questions and revise any mistake on the same day.

জ্যামিতি

জ্যামিতি গণিতৰ সেই শাখা যি আকৃতি, আকাৰ আৰু আমাৰ চাৰিওফালৰ স্থান অধ্যয়ন কৰে। এজন খেতিয়কে নিজৰ পথাৰ জুখি, এজন স্থপতিয়ে পৰিকল্পনা আঁকি আৰু এজন বঢ়াই তক্তা কাটি জ্যামিতি ব্যৱহাৰ কৰে, যদিও সেই নামেৰে নকয়। অসমৰ প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাত জ্যামিতি কোণ, ত্ৰিভুজ, চতুৰ্ভুজ, বৃত্ত আৰু বহুভুজৰ প্ৰশ্ন হিচাপে দেখা যায়, আৰু এই প্ৰশ্নবোৰৰ বেছিভাগ কেইটামান মানক ফলাফলৰ পৰাই উত্তৰ দিব পাৰি। এই অধ্যায়ে তাক পুৰস্কৃত কৰে যি পৰিষ্কাৰ চিত্ৰ আঁকে আৰু মূল উপপাদ্যবোৰ মনত ৰাখে, কাৰণ এটা ভাল চিত্ৰই প্ৰায়েই কোনো গণনা আৰম্ভ কৰাৰ আগতেই উত্তৰ দেখুৱাই দিয়ে।

মূল শব্দাৱলী

  • বিন্দু: আকাৰ নথকা এটা অৱস্থান, এটা টোপোলাৰে দেখুওৱা হয় আৰু ডাঙৰ আখৰেৰে নাম দিয়া হয়।
  • ৰেখা, ৰেখাখণ্ড আৰু ৰশ্মি: ৰেখা দুয়ো দিশে অন্তহীনভাৱে বিস্তৃত, ৰেখাখণ্ডৰ দুটা নিৰ্দিষ্ট মুৰ থাকে, আৰু ৰশ্মিৰ এটা মুৰ আৰু এটা দিশত অন্তহীন বিস্তৃতি থাকে।
  • কোণ: এটা সাধাৰণ বিন্দুত মিলা দুটা ৰশ্মিৰ পৰা গঠিত আকৃতি, যাক শীৰ্ষবিন্দু বোলা হয়।
  • ত্ৰিভুজ: তিনিটা ৰেখাখণ্ডৰে আবদ্ধ আকৃতি।
  • চতুৰ্ভুজ: চাৰিটা ৰেখাখণ্ডৰে আবদ্ধ আকৃতি।
  • বহুভুজ: তিনিটা বা ততোধিক ৰেখাখণ্ডৰে আবদ্ধ বন্ধ আকৃতি।
  • বৃত্ত: এটা স্থিৰ বিন্দুৰ পৰা এটা নিৰ্দিষ্ট দূৰত্বত থকা আটাই বিন্দুৰ গোট, সেই বিন্দুটোক কেন্দ্ৰ বোলা হয়।

সঠিক শব্দাৱলী জ্যামিতিৰ ভেটি। যি প্ৰাৰ্থীয়ে জ্যা আৰু ব্যাসক, বা মধ্যমা আৰু লম্বক মিলাই পেলায় তেওঁ এটা শুদ্ধ প্ৰশ্ন ভুলকৈ পঢ়িব আৰু জ্যামিতি বুজি থাকিও নম্বৰ হেৰুৱাব।

মূল ফলাফলসমূহ

  • ত্ৰিভুজৰ কোণবোৰৰ যোগফল = 180 ডিগ্ৰী।
  • ত্ৰিভুজৰ এটা বাহ্যিক কোণ ইয়াৰ অভ্যন্তৰীণ বিপৰীত দুটা কোণৰ যোগফলৰ সমান।
  • পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য, সমকোণী ত্ৰিভুজত কৰ্ণৰ ওপৰৰ বৰ্গ আন দুটা বাহুৰ ওপৰৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
  • n বাহু থকা বহুভুজৰ অভ্যন্তৰীণ কোণবোৰৰ যোগফল = (n − 2) × 180 ডিগ্ৰী।
  • ত্ৰিভুজৰ কালি = আধা × ভূমি × উচ্চতা।
  • বৃত্তৰ কালি = π r বৰ্গ, আৰু পৰিধি = 2 π r।

এই ফলাফলবোৰে পৰীক্ষাৰ প্ৰশ্নৰ অতি ডাঙৰ অংশ সামৰি লয়। প্ৰাৰ্থীয়ে প্ৰতিটো তৎক্ষণাত মনত পেলাব পৰা উচিত আৰু প্ৰশ্নৰ চিত্ৰত কোনটো প্ৰযোজ্য সেয়া দেখা উচিত।

ৰেখা আৰু কোণ

যেতিয়া দুটা সৰল ৰেখা কটাকটি কৰে, তেতিয়া এটাই আনটোৰ বিপৰীতে থকা কোণবোৰ সমান আৰু তেওঁলোকক বিপৰীত কোণ বোলা হয়। যেতিয়া এটা ৰেখাই দুটা সমান্তৰাল ৰেখা কাটে, তেতিয়া অনুৰূপ কোণবোৰ সমান, একান্তৰ কোণবোৰ সমান, আৰু একেই ফালে থকা অভ্যন্তৰীণ কোণবোৰৰ যোগফল 180 ডিগ্ৰী। সমান্তৰাল ৰেখাৰ এই তথ্যবোৰ ৰেখাক ত্ৰিভুজৰ সৈতে মিলোৱা প্ৰশ্নত অবিৰতভাৱে ব্যৱহৃত হয়। প্ৰাৰ্থীয়ে সমান কোণবোৰ চিনি পোৱাৰ লগে লগে চিত্ৰত চিহ্নিত কৰা উচিত, কাৰণ এইটোৱে এটা জটিল চিত্ৰক সৰল সমতাবোৰৰ শৃংখলালৈ ৰূপান্তৰ কৰে।

ত্ৰিভুজ আৰু তেওঁলোকৰ ধৰ্ম

যিকোনো ত্ৰিভুজৰ কোণবোৰৰ যোগফল সদায় 180 ডিগ্ৰী, আৰু এই এটা সত্যই বহু প্ৰশ্ন সমাধান কৰে। সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজত সমান বাহুৰ বিপৰীতে থকা কোণবোৰ সমান। সমবাহু ত্ৰিভুজত প্ৰতিটো কোণ 60 ডিগ্ৰী। আটাইতকৈ দীঘল বাহু সদায় আটাইতকৈ ডাঙৰ কোণৰ বিপৰীতে থাকে, আৰু যিকোনো দুটা বাহুৰ যোগফল সদায় তৃতীয়টোতকৈ ডাঙৰ। এই ধৰ্মবোৰে প্ৰাৰ্থীক প্ৰশ্নত দিয়া তথ্যৰ পৰাই, কোনো জোখ-মাখ নকৰাকৈয়ে, অজ্ঞাত কোণ আৰু বাহু চিনি পাবলৈ অনুমতি দিয়ে।

মধ্যমা, লম্ব আৰু কেন্দ্ৰসমূহ

মধ্যমাই এটা শীৰ্ষবিন্দুক বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰ সৈতে সংযোগ কৰে, আৰু তিনিওটা মধ্যমা য'ত মিলে তাক ভাৰকেন্দ্ৰ বোলা হয়, যি প্ৰতিটো মধ্যমাক দুই বনাম এক অনুপাতত ভাগ কৰে। লম্ব হৈছে এটা শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা বিপৰীত বাহুলৈ টনা লম্ব, আৰু তিনিওটা লম্ব য'ত মিলে তাক লম্বকেন্দ্ৰ বোলা হয়। বাহুৰ লম্ব দ্বিখণ্ডকবোৰ য'ত মিলে তাক পৰিকেন্দ্ৰ, আৰু কোণ দ্বিখণ্ডকবোৰ য'ত মিলে তাক অন্তঃকেন্দ্ৰ বোলা হয়। এই চাৰিটা কেন্দ্ৰ বস্তুনিষ্ঠ প্ৰশ্নত সঘনাই উল্লেখ কৰা হয়, আৰু প্ৰাৰ্থীয়ে প্ৰতিটোৰ সংজ্ঞা আৰু তাৰ ত্ৰিভুজৰ বিশেষ ধৰ্ম জনা উচিত।

সৰ্বসমতা আৰু সদৃশতা

দুটা ত্ৰিভুজ সৰ্বসম হয় যেতিয়া তেওঁলোক আকৃতি আৰু আকাৰত হুবহু একেই, আৰু মানক পৰীক্ষাবোৰ হৈছে বাহু-বাহু-বাহু, বাহু-কোণ-বাহু, কোণ-বাহু-কোণ, আৰু সমকোণ-কৰ্ণ-বাহু। দুটা ত্ৰিভুজ সদৃশ হয় যেতিয়া তেওঁলোকৰ আকৃতি একেই কিন্তু আকাৰ বেলেগ হ'ব পাৰে, ফলত অনুৰূপ কোণবোৰ সমান আৰু অনুৰূপ বাহুবোৰ একেই অনুপাতত থাকে। সদৃশতা এটা শক্তিশালী সঁজুলি, কাৰণ ই প্ৰাৰ্থীক কোনো জোখ-মাখ নকৰাকৈয়ে জনা অনুপাতৰ পৰা অজ্ঞাত দীঘ উলিয়াবলৈ দিয়ে। ছাঁ, জখলা আৰু সদৃশ আকৃতিৰ প্ৰশ্নবোৰ সদৃশতাৰে সমাধান কৰা হয়।

পাইথাগোৰাছ উপপাদ্য

সমকোণী ত্ৰিভুজত কৰ্ণৰ ওপৰৰ বৰ্গ আন দুটা বাহুৰ ওপৰৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান। এই উপপাদ্যই তিনিওটা বাহুক সংযোগ কৰে আৰু আন দুটা জনা থাকিলে নোহোৱা বাহু উলিয়াবলৈ ব্যৱহৃত হয়। কিছুমান পূৰ্ণসংখ্যাৰ ত্ৰিগুণো ইয়াক সন্তুষ্ট কৰে, যেনে তিনি, চাৰি আৰু পাঁচ, আৰু পাঁচ, বাৰ আৰু তেৰ, আৰু এই ত্ৰিগুণ চিনি পালে গণনা ৰক্ষা হয়। উপপাদ্যটোৰ বিপৰীতটোও সত্য, আৰু এটা ত্ৰিভুজ সমকোণী নে নহয় পৰীক্ষা কৰিবলৈ ব্যৱহৃত হয়।

চতুৰ্ভুজ আৰু সামান্তৰিক

চতুৰ্ভুজৰ চাৰিটা বাহু আৰু তাৰ কোণবোৰৰ যোগফল 360 ডিগ্ৰী। সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুৰ দুয়োটা যোৰ সমান্তৰাল আৰু সমান, আৰু ইয়াৰ কৰ্ণবোৰে এটাৱে আনটোক দ্বিখণ্ডিত কৰে। আয়ত এটা সমকোণ থকা সামান্তৰিক, আৰু ইয়াৰ কৰ্ণবোৰ সমান। ৰম্বছ এটা আটাই বাহু সমান থকা সামান্তৰিক, আৰু ইয়াৰ কৰ্ণবোৰ সমকোণত কটাকটি কৰে। বৰ্গ আয়ত আৰু ৰম্বছ দুয়োটাৰে ধৰ্ম ৰাখে। প্ৰাৰ্থীয়ে এই আকৃতিবোৰ এটা আনটোৰ সৈতে কেনেকৈ জড়িত সেয়া জনা উচিত, কাৰণ বহু প্ৰশ্নই ইয়াৰ এটাৰ কালি বা কৰ্ণ সোধে।

বৃত্ত, জ্যা আৰু স্পৰ্শক

বৃত্তত জ্যা হৈছে পৰিধিৰ দুটা বিন্দুক সংযোগ কৰা ৰেখা, আৰু ব্যাস আটাইতকৈ দীঘল জ্যা, যি কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যায়। কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যাপৰ্যন্ত টনা লম্বে জ্যাক দ্বিখণ্ডিত কৰে। স্পৰ্শকে বৃত্তটোক ঠিক এটা বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে আৰু স্পৰ্শবিন্দুত ব্যাসাৰ্ধৰ লম্ব। বাহ্যিক বিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ টনা স্পৰ্শকবোৰ দীঘত সমান। অৰ্ধবৃত্তত থকা কোণ সমকোণ। বৃত্তৰ এই ফলাফলবোৰ বহু বস্তুনিষ্ঠ প্ৰশ্নত দেখা যায় আৰু স্বভাৱগত নোহোৱালৈকে অভ্যাস কৰা উচিত।

বহুভুজ আৰু তেওঁলোকৰ কোণ

সুষম বহুভুজৰ আটাই বাহু সমান আৰু আটাই কোণ সমান। n বাহু থকা বহুভুজৰ অভ্যন্তৰীণ কোণবোৰৰ যোগফল (n − 2) গুণ 180 ডিগ্ৰী, আৰু সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো অভ্যন্তৰীণ কোণ সেই যোগফলক n ৰে ভাগ কৰি পোৱা মান। যিকোনো বহুভুজৰ বাহ্যিক কোণবোৰৰ যোগফল সদায় 360 ডিগ্ৰী, বাহুৰ সংখ্যা যিয়েই নহওক। এই শেষ ফলাফলটো বিশেষভাৱে উপযোগী, কাৰণ ই এটা বাহ্যিক কোণৰ পৰা সুষম বহুভুজৰ বাহুসংখ্যা উলিয়াবলৈ দিয়ে।

পৰীক্ষাত এই অধ্যায় কেনেকৈ আহে

ADRE, APSC, অসম আৰক্ষী আৰু SSC প্ৰশ্নপত্ৰত জ্যামিতি নিয়মীয়াকৈ থাকে, সাধাৰণতে কোণ, ত্ৰিভুজ, বৃত্ত আৰু কালিৰ প্ৰশ্নৰ ৰূপত। বহু প্ৰশ্ন এটা স্পষ্টভাৱে আঁকা চিত্ৰত এটা মানক ফলাফল প্ৰয়োগ কৰি সমাধান কৰা হয়। এই অধ্যায়ে সাৱধানে চিত্ৰ আঁকা আৰু উপপাদ্যৰ সঠিক স্মৰণক পুৰস্কৃত কৰে যিহেতু, বুজি নুবুজাকৈ সূত্ৰ মুখস্থ কৰাতকৈ চিত্ৰৰ সৈতে নিয়মীয়া অভ্যাস বেছি মূল্যৱান। বিশটা ভালদৰে বাছনি কৰা প্ৰশ্নই সাধাৰণতে পৰীক্ষাই সাজিব পৰা গোটেই প্ৰতিমান সামৰি ল'বলৈ যথেষ্ট।

এৰাই চলিবলগীয়া সাধাৰণ ভুল

  • জ্যাক ব্যাসৰ সৈতে বা মধ্যমাক লম্বৰ সৈতে মিলাই পেলোৱা।
  • কোৱা নাই অথচ ত্ৰিভুজটো সমকোণী বুলি ধৰি লোৱা।
  • চতুৰ্ভুজৰ অভ্যন্তৰীণ কোণবোৰ 360 ডিগ্ৰীৰ পৰিৱৰ্তে 180 ৰ সৈতে যোগ কৰা।
  • সদৃশতা প্ৰয়োগ কৰাৰ সময়ত ভুল অনুপাত ব্যৱহাৰ কৰা।
  • স্পৰ্শক স্পৰ্শবিন্দুত ব্যাসাৰ্ধৰ লম্ব সেয়া পাহৰি যোৱা।

এই বিষয়ৰ প্ৰস্তুতি কেনেকৈ কৰিব

  1. মূল শব্দাৱলী শিকক আৰু প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ বাবে এটা পৰিষ্কাৰ চিত্ৰ আঁকক।
  2. সমান্তৰাল ৰেখাৰ কোণ আৰু ত্ৰিভুজৰ কোণৰ যোগফল পুনৰালোচনা কৰক।
  3. ত্ৰিভুজৰ ধৰ্ম, সৰ্বসমতা আৰু সদৃশতা অভ্যাস কৰক।
  4. চতুৰ্ভুজ, বৃত্ত আৰু বহুভুজলৈ আগবাঢ়ক।
  5. শেষত কালি আৰু পৰিধিৰ প্ৰশ্ন সমাধান কৰক, যি জ্যামিতিক মেনছুৰেচনৰ সৈতে মিলায়।

সাধু সোধা প্ৰশ্ন

ত্ৰিভুজৰ কোণবোৰৰ যোগফল কিমান?

যিকোনো ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা অভ্যন্তৰীণ কোণৰ যোগফল সদায় 180 ডিগ্ৰী। এই এটা ফলাফলেই কোণৰ বিষয়ে অহা অতি ডাঙৰ সংখ্যক জ্যামিতি প্ৰশ্নৰ ভেটি।

সৰ্বসমতা আৰু সদৃশতাৰ মাজৰ পাৰ্থক্য কি?

সৰ্বসম আকৃতিবোৰ আকৃতি আৰু আকাৰত হুবহু একেই, আনহাতে সদৃশ আকৃতিবোৰৰ আকৃতি একেই কিন্তু আকাৰ বেলেগ হ'ব পাৰে। সদৃশ ত্ৰিভুজত অনুৰূপ কোণবোৰ সমান আৰু অনুৰূপ বাহুবোৰ একেই অনুপাতত থাকে।

পাইথাগোৰাছ উপপাদ্যই কি কয়?

সমকোণী ত্ৰিভুজত কৰ্ণৰ ওপৰৰ বৰ্গ আন দুটা বাহুৰ ওপৰৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান। ই নোহোৱা বাহু উলিয়াবলৈ আৰু ত্ৰিভুজ এটা সমকোণী নে নহয় পৰীক্ষা কৰিবলৈ ব্যৱহৃত হয়।

বহুভুজৰ বাহ্যিক কোণবোৰৰ যোগফল কিমান?

যিকোনো বহুভুজৰ বাহ্যিক কোণবোৰৰ যোগফল সদায় 360 ডিগ্ৰী, ইয়াৰ কিমান বাহু থাকক নহওক। এইটোৱে এটা বাহ্যিক কোণৰ পৰা সুষম বহুভুজৰ বাহুসংখ্যা উলিয়াবলৈ দিয়ে।

ADRE আৰু APSC ৰ বাবে জ্যামিতি কেনেকৈ প্ৰস্তুতি কৰিব?

শব্দাৱলী আৰু মানক উপপাদ্যবোৰ শিকক, প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ বাবে এটা পৰিষ্কাৰ চিত্ৰ আঁকক, আৰু ত্ৰিভুজ, বৃত্ত আৰু কালিৰ অভ্যাস কৰক। বিশটা প্ৰশ্ন চেষ্টা কৰক আৰু ভুল হোৱা প্ৰশ্নবোৰ সেইদিনাই পুনৰালোচনা কৰক।

Mathematics rewards practice, and this Geometry set is built for exactly that. The formulas and short methods follow the Master Book: Maths Masti (D. Hurina), and each question is solved step by step so that you can reproduce the approach in the exam. Track the questions you get wrong and revise them the same day.

Author: Axom Exam TeamReference source: Master Book: Maths Masti (D. Hurina)Published: 29 August 2026

এই পৃষ্ঠাৰ সমল অসমৰ প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাৰ বাবে প্ৰস্তুত কৰা হৈছে। প্ৰতিটো প্ৰশ্ন দ্বিভাষিক আৰু প্ৰতিটো উত্তৰ চমুকৈ ব্যাখ্যা কৰা হৈছে। সমল মানক প্ৰসংগ পুথি আৰু বিশ্বাসযোগ্য অনলাইন উৎসৰ আধাৰত প্ৰস্তুত কৰা হয়।

লেখক: Axom Exam Teamপ্ৰসংগ উৎস: মানক প্ৰসংগ পুথি আৰু বিশ্বাসযোগ্য অনলাইন উৎসপ্ৰকাশিত: 29 আগষ্ট 2026